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Integrationsgrenzen bei Volumenberechnung (Kugel)

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Bedingung, Bereichsgrenzen, Integration, Kugelkoordinaten, volumenberechnung

kunz1989 aktiv_icon

10:41 Uhr, 08.03.2022

Hallo liebes Forum,

ich bin mir sicher diese Frage wurde in ähnlicher Form schon häufig gestellt, allerdings funktioniert die Suchfunktion bei mir nicht, die Seite lädt einfach nicht wenn ich nach Begriffen suche.

Es geht um folgende Aufgabenstellung:

Berechnen Sie mit Hilfe von Kugelkoordinaten das Volumen

V

der Menge:

M = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 4, z \geq 0, x^{2} + y^{2} \leq z^{2}}

Als Kugelkoordinaten verwende ich:

x = r \cdot sin θ \cdot cos φ

y = r \cdot sin θ \cdot sin φ

z = r \cdot cos θ

Dann möchte ich mit Hilfe des Volumenelements für Kugeln das Integral aufstellen

\int_{M} 1

dV mit dV=

r^{2} \cdot sin (θ) d φ d θ d r

Jetzt habe ich allerdings Probleme bei der Aufstellung der Integrationsgrenzen.

z > 0 =

sagt aus, dass sozusagen nur die Nordhalbkugel betrachtet wird, als Radius

r

bekomme ich aus

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 4 \to R = 2

. Bisher wäre das also eine Halbkugel mit Radius 2.

So weit also:

\int_{0}^{2} \int_{θ} \int_{0}^{π} r^{2} \cdot sin (θ) d φ d θ d r

(bei der Inneren Integralgrenze

φ

eigentlich von 0 bis

2 π,

das Integral lässt sich leider nicht richtig formatieren).

Aus der dritten Bedingung werde ich aber nicht schlau. Wenn ich bei

x^{2} + y^{2} \leq z^{2}

die Kugelkoordinaten

x & y

einsetze bekomme ich:

{(r \cdot sin θ \cdot cos φ)}^{2} + {(r \cdot sin θ \cdot sin φ)}^{2} \leq z^{2} \to r^{2} \cdot {sin}^{2} θ \cdot ({cos}^{2} φ + {sin}^{2} φ) y = z^{2} \to

Pythagoras

\to r^{2} \cdot {sin}^{2} θ \leq z^{2} \to

Wurzel ziehen

\to r \cdot sin θ \leq | z |

z^{2}

ist aufgrund der ersten Bedingung

\leq 4,

also

| z | \leq 2

. Mit der zweiten Bedingung bekomme ich dann

0 \leq r \cdot sin θ \leq 2

und für

r = 2

dann

0 \leq sin θ \leq 1

. Was sind jetzt hier die Grenzen für theta? Theoretisch wäre das der Bereich von 0 bis

π

. Allerdings weiß ich aus der Lösung dass das nicht stimmt. Wie genau kann ich hier die Integrationsgrenzen methodisch bestimmen, ohne mir vorstellen zu müssen, wie der Körper aussieht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:53 Uhr, 08.03.2022

Hallo,

Du musst auch für

z

Kugelkoordinaten verwenden, dann erhältst Du mit Deinen Überlegungen:

r^{2} {sin (θ)}^{2} \leq r^{2} {cos (θ)}^{2}

r^{2}

kürzt sich weg. Wegen

z \geq 0,

ist

θ \leq \frac{π}{2}

und Du kannst die Ungleichung

sin (θ) \leq cos (θ)

einfach auswerten.

Zur Kontrolle: Die Kugel ist ja rotationssymmetrisch zur z-Achse (unter anderem). Du kannst Dir also Infos besorgen, indem Du den Schnitt mit der x-z-Ebene betrachtest

(y = 0)

. Dann lautet die Bedingung:

x^{2} \leq z^{2},

also

| x | \leq z

. Das kanns Du leicht skizzieren und mit Deinem ERgebnis für den theta-Bereich vergleichen.

Gruß pwm

kunz1989 aktiv_icon

12:10 Uhr, 08.03.2022

Danke für deine Antwort!
Der Ansatz

sin θ \leq cos θ

erschien mir zuerst trivial, aber das wäre ja praktisch der Bereich, in dem der sinus kleiner als der cosinus ist. Wäre das für

z \geq 0

nicht

0 \leq θ \leq \frac{π}{4}

? Das würde auch mit der Lösung übereinstimmen.

Bei der Betrachtung

| x | \leq z,

also

| x | \leq 2

wäre das ja sozusagen ein umgedrehter Kegel. Hier wären die Integrationsgrenzen für

θ

jetzt aber doch sozusagen von

\frac{π}{4}

bis

3 \frac{π}{4}

oder?

HAL9000

13:42 Uhr, 08.03.2022

Nein,

0 \leq θ \leq \frac{π}{4}

ist schon ganz richtig.

M

ist ein auf die Spitze gestellter Kegel mit aufgesetzter Kugelkappe:

θ = 0

mit

r = 2

entspricht dem Kugel-Nordpol, zugleich bei uns Mittelpunkt der Kugelkappenoberfläche.

Die Punkte mit

θ = \frac{π}{4}

und

0 \leq r \leq 2

bilden die Mantelfläche des Kegels.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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