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Interpolation Fehlerabschätzung

Universität / Fachhochschule

Tags: wie viele stützstellen

Kplaster aktiv_icon

11:43 Uhr, 22.11.2014

Hallo,

die Funktion f(x) =

\int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t

soll auf [0,1] so tabelliert wwerden, das bei stückweise quadratischer Interpolation zwischen äquidistanten Stützstellen der Interpolationsfehler höchstens

1 0^{- 6}

beträgt. Wie viele Stützstellen werden benötigt?
dazu habe ich diese Formel zur Verfügung:

f (x) - p (x) = \frac{f^{n + 1} (ξ)}{(n + 1)!} \prod_{j = 0}^{n} (x - x_{j}) .

Die dritte Ableitung lautet ja

(2 + 4 x^{2}) e^{x^{2}}

und kann somit durch 6e abgeschätzt werden. Wie schätze ich

\prod_{j = 0}^{n} (x - x_{j})

ab?
ich müsste ja mit den Stützstellen

x_{0}

x_{1} = x_{0} + h

und

x_{2} = x_{0} + 2 h

dieses Produkt irgendwie abschätzen.

Viele Grüße

pwmeyer aktiv_icon

17:40 Uhr, 22.11.2014

Hallo,

Du kannst doch das Produkt einfach ausrechnen und sein absolutes Max und Min bestimmen.

Gruß pwm

ledum aktiv_icon

18:26 Uhr, 22.11.2014

Hallo
der Fehler muss doch im letzen Stück am größten sein also muss nur das auf

10^{- 6}

genau sein, dann ist es in den anderen Intervallen mindestens so genau.
du willst ja nicht den Fehler am Ende, sondern der Fehler bei quadratischer Interpolation zwischen 2 Stützstellen soll nur 10^(-6)sein. so verstehe ich die Aufgabe. an den Stutzstellen sollte dann die fkt genauer sein!
Gruß ledum.

Kplaster aktiv_icon

21:31 Uhr, 23.11.2014

So hier nochmal die Aufgabestellung in anderer Ausführung:
Von der oben genannten Funktion f soll eine Wertetabelle erstellt werden. Zur Ermittlung eines Näherungswertes für f(x) mit x aus [0,1] wird dann jeweils ein geeignetes quadratisches Lagrange-Interpolationspolynom mit Stützwerten aus dieser Tabelle berechnet und in x ausgewertet. Wie viele äquidistante Stützstellen sind notwendig, damit der Interpolationsfehler höchstens

1 0^{- 6}

beträgt?
Mein Problem ist immer noch, das Produkt abzuschätzen. Da wir in x auswerten wollen, würde ich sagen, dass wir drei Stützstellen für das Polynom wählen, die in der direkten Umgebung von x liegen. Also

x_{0}, x_{1} = x_{0} + h, x_{2} = x_{0} + 2 h

.
Somit wollen wir doch das Produkt

(x - x_{0}) (x - x_{0} - h) (x - x_{0} - 2 h)

auf dem Intervall

[x_{0}, x_{0} + 2 h]

abschätzen.
Man könnte natürlich die Extrema bestimmen, doch da habe ich schon Probleme, da wir nur auf diesem Intervall nach oben abschätzen wollen.
Ist das, was ich mir überlegt habe, so richtig? Wenn ja, wie und mit welchem Wert kann ich das abschätzen?
Liebe Grüße

pwmeyer aktiv_icon

21:48 Uhr, 23.11.2014

Hallo,

nochmal: Was spricht dagegen, das Max /Min von

(x - x_{0}) \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

auf dem Intervall

[x_{0}, x_{2}]

zu bestimmen.

Wenn Du die Rechenarbeit gering halten willst kann Du ja

x = x_{0} + h + s \cdot h, s = - 1, ...,1

substituieren.

Gruß pwm

Kplaster aktiv_icon

22:06 Uhr, 23.11.2014

Ok, ich habe deine Substitution benutzt. Nach Einsetzen muss dann das Polynom

h^{3} (s^{3} - s)

im Intervall [-1,1] abschätzen? Also muss das Polynom kleiner sein als

h^{3} * \frac{2 \sqrt{3}}{9}

, oder?

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