Interpretation der Lagrange-Multiplikatoren?

Hallo zusammen!

Ich suche jemanden, der mir den Lagrange Multiplikator anschaulich bzw. geometrisch erklären kann, ohne auf den Satz von impliziten Funktionen bzw. das Envelope-Theorem zurückzugreifen.

Es geht um folgendes
Mit dem Lagrange-Ansatz findet man z.B. ein Maximum unter einer Nebenbedingung in Gleichungsform:
Wir nehmen folgende die konkave Funktion:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}}\cdot {\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{3}}\Rightarrow \nabla \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{-1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\frac{1}{2}}\\ {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{-1}{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\frac{2}{3}}\end{array}\right)}$

Dann nehmen wir eine "Budgetrestriktion":

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\stackrel{!}{=}10\Rightarrow \nabla \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array})}$

Es muss nun gelten:
${\displaystyle \mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\nabla \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})+\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \nabla \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=0;\mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=10}$

Im restringierten Optimum wird also der Gradient von f(x,y) ein Vielfachen des Gradienten von g(x,y) sein. Das ist logisch und gut einsehbar - da gibt es genügend Grafiken zu.
Man erhält als Lösungen:
${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0=2;{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0=2;\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-0.15;\nabla \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0,{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)=(\begin{array}{c}0.45\\ 0.30\end{array});\nabla \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0,{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)=(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array});\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0,{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)=1.78;\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0,{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)=10}$

Meine Frage: Wir haben gelernt, dass -lambda (minus lambda, also hier = 0.15) derjenige Wert ist, um den sich die das Optimum erhöht wenn man die Nebenbedingung um eine Einheit erhöht. Also:

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\stackrel{!}{=}10+1=11 \\ \Rightarrow \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0,{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)\approx 1.78+0.15=1.93} \end{gathered}$$
Wieso ist dies der Fall? Wie kann man das geometrisch sehen bzw. interpretieren? Lambda ist nichts anderes als das Verhältnis zweicher Gradienten.

Hier ein paar Gedanken von mir: Vielleicht kann dann jemand übernehmen?

Der Gradient von f im Optimum sagt mit, dass wenn ich einen Schritt entlang der x-Achse auf der Tangentialebene gehe, ich eine Erhöhung um 0.45 erreiche, und wenn ich entlang der y-Achse gehe (auf der Tangentialebene im Punkt (2,2), ich eine Erhöhung von 0.30 erreiche. Das ist schön. Doch wie komme ich jetzt auf die 0.15?

Vielen Dank!

Also, ich habe mich die letzten Tage mal hingesetzt und die Richtigkeit der Interpretation der Lagrange-Multiplikatoren hergeleitet. Deshalb kann ich meine Frage selbst beantworten. Für jeden, den es interessiert:

Folgende Überlegungen gelten exakt für die jeweiligen Tangentialebenen von Funktion und NB, jedoch nur marginal für die Funktion und NB selbst.

Hier die Erkenntniskette:

1) Der Gradient zeigt die Richtung des steilsten Anstiegs

2) Ein Schritt in Richtung des Gradienten der NB erhöhe jene um x

3) Ein Schritt in Richtung des Gradienten der Funktion erhöhe jene um -&lambda;x. Dies folgt aus der Kuhn-Tucker-Bedingung und aus der Richtungsableitung.

4) Jetzt rückwärts denken: 1/x Schritte in Richtung des Gradienten der NB erhöht jene um 1.

5) Will man also die NB um eins erhöhen, so muss man 1/x Schritte in Richtung des Gradienten der NB gehen.

6) 1/x Schritte in Richtung des Gradienten der NB sind ebenfalls 1/x Schritte in Richtung des Gradienten der Funktion, da beide in die gleiche Richtung zeigen.

7) 1/x Schritte in Richtung des Gradienten der Funktion erhöht jene um 1/x*(-&lambda;x) = -&lambda;

Tadaaaaaaa! Einmal um die Ecke gedacht und schon gehts.