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Intervallschachtelung

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

anonymous

19:08 Uhr, 15.11.2009

Für 0 < a1 < b1 seien die Folgen (an) und (bn) rekursiv durch
an+1 = 2an $\times$ bn $\div$ an + bn
und

bn+1 = an + bn $\div$ 2 $\forall$ n $\in$ N
definiert. Zeigen Sie, dass durch [an; bn] eine Intervallschachtelung gegeben ist, d.h. es gilt
In+1 := [an+1; bn+1] $\subset$ [an; bn] =: In für alle n $\in$ N, und es gibt genau eine reelle Zahl x
mit x 2 $\in$ In $\forall$ n $\in$ N.
Man hat also zu zeigen

es gilt stets an $\leq$ bn;
(an) ist monoton wachsend und (bn) ist monoton fallend;
beide Folgen konvergieren gegen den selben Grenzwert x.

also der grenzwert von beiden folgen müsste 2 sein

aber für den rest habe ich keinen richtigen ansatz!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

hagman aktiv_icon

20:23 Uhr, 15.11.2009

Die Schreibweise ist unklar - ist

a_{n + 1} = \frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n} + b_{n}}

b_{n + 1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2}

gemeint? Hört sich jedenfalls gut an, das ist nämlich mit den richtigen Anfangswerten eine gute Methode, um viele Stellen von

π

zu berechnen.

Wenn das eine Intervallschachtelung ist, kann übrigens der Grenzwert gar nicht immer 2 sein (beispielsweise wenn

b_{1} < 2

oder

a_{1} > 2)

Nützlich ist für alle Beweisteile Induktion

0 < a_{1} < b_{1}

ist gegeben.
Die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel sollte bekannt sein ("Sind

a, b

positive Zahlen, so ist

\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2};

ist

a \neq b,

so gilt sogar

\sqrt{a b} < \frac{a + b}{2}

"), es geht aber auch ohne:

Sei

0 < a_{n} < b_{n}

bekannt.
Dann ist sofort

b_{n + 1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2}

als arithmetisches Mttel zwischen

a_{n}

und

b_{n}, d . h

0 < a_{n} < b_{n + 1} < b_{n}

.
Damit ist weiter

a_{n + 1} = \frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n} + b_{n}} = a_{n} \cdot \frac{b_{n}}{b_{n + 1}} > a_{n}

.
Bleibt noch zu zeigen, dass

b_{n + 1} > a_{n + 1}

oder wahlweise

\frac{b_{n + 1}}{a_{n + 1}} > 1

.
Hierzu beachte

\frac{b_{n + 1}}{a_{n + 1}} = \frac{{(a_{n} + b_{n})}^{2}}{4 a_{n} b_{n}}

= \frac{a_{n}^{2} + 2 a_{n} b_{n} + b_{n}}{4 a_{n} b_{n}}

= \frac{(a_{n}^{2} - 2 a_{n} b_{n} + b_{n}) + 4 a_{n} b_{n}}{4 a_{n} b_{n}}

= \frac{{(a_{n} - b_{n})}^{2}}{4 a_{n} b_{n}} + 1 > 1

Es folgt

0 < a_{n} < a_{n + 1} < b_{n + 1} < b_{n}

für alle

n

.

Schließlich muss noch gezeigt werden, dass

b_{n} - a_{n}

Nullfolge ist.
Aber es gilt ja

b_{n + 1} - a_{n + 1} < b_{n + 1} - a_{n} = \frac{b_{n} - a_{n}}{2}, d . h

. die Intervalllänge geht mindestens exponeziell gegen

0,

oder auch explizit

0 < b_{n} - a_{n} < \frac{b_{1} - a_{1}}{2^{n - 1}}

anonymous

18:10 Uhr, 16.11.2009

hey also

an+1 = 2an * bn / (an+ bn)

bn+1= an+bn/2

/ steht für das geteilt zeichen oder eben einen bruch!!

Gelten dann die aussagen trotdem??

hagman aktiv_icon

18:25 Uhr, 16.11.2009

Schau bitte einmal in den Link "Wie schreibt man Formeln?"
Dein an+1 könnte mindestnes ebenso gut

a_{n} + 1

statt

a_{n + 1}

bedeuten.
Wenn du wirklich

a_{n + 1} = \frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n} + b_{n}}

und

b_{n + 1} = a_{n} + \frac{b_{n}}{2}

statt

b_{n} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2}

meinst, haben wir ein Problem. Denn selbst wenn sich daraus stets

a_{n} \leq a_{n + 1}

uns

a_{n} < b_{n}

ergeben sollte, folgt

b_{n + 1} > a_{n} + \frac{a_{n}}{2} = \frac{3}{2} a_{n}

. Das kann mit positiven Startwerten niemals eine konvergente Intervallschachtelung liefern.
Ich gehe mal davon aus ,dass trotzdem das von mir beschriebene AGM-Verfahren gemeint war.

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