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Inverse, Caley-Hamilton, minimales Polynom

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Caley-Hamilton, Matrizenrechnung, minimales Polynom

sventja

16:49 Uhr, 19.05.2010

Es sei

A \in M_{n} (ℝ)

.
Zu zeigen:

(a) A

ist invertierbar genau dann, wenn

p_{A} (0) \neq 0

gilt.

(b) A

ist invertierbar genau dann, wenn

m_{A} (0) \neq 0

gilt.

(c)

Berechnen Sie die Inverse von A als Polynom in A. Verwenden Sie den Satz von Cayley-Hamilton.

hagman aktiv_icon

17:19 Uhr, 19.05.2010

Erst

(c) :

Sei

P \in ℝ [X]

ein Polynom mit

P (A) = 0

aber

P (0) \neq 0

.
Dann hat

P

die Form

P (X) = a_{0} + X \cdot Q (X)

mit einem Polynom

Q \in ℝ [X]

und

a_{0} \neq 0

.
Dann ist

R (X) = - \frac{1}{a_{0}} \cdot Q (X)

ein Polynom

R (X) \cdot X = X \cdot R (X) = 1 - P (X),

also

R (A) \cdot A = A \cdot R (A) = E_{n} - P (A) = E_{n}

Jetzt

(a) :

Wenn

p_{A} (0) \neq 0

ist die Voraussetzung der Überlegung von oben erfüllt, also A invertierbar.
Wenn

p_{A} (0) = 0,

bedeutet dies

det (A - 0 \cdot E_{n}) = 0,

also

det (A) = 0

und

A

ist nicht invertierbar.

Schließlich

(b) :

m_{A}

und

p_{A}

dieselben Nullstellen haben, ist (b)

\Leftrightarrow (a)

sventja

16:19 Uhr, 24.05.2010

Hey!
Kannst du mir

c)

nochmal erklären? Wieso

Q (X) \cdot X

und nicht einfach nur

Q (X)

? Und den Schritt mit

R (X)

verstehe ich leider auch nicht...wieso ergibt das

1 - P (X)

?
Wir müssen mit der Methode von

c)

die Inverse von

(\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 2 & 4 & 4 \\ 2 & 6 & 6 \end{matrix})

berechnen.

sventja

22:28 Uhr, 24.05.2010

Also ich hab mal versucht, deinen Vorschlag auf mein Beispiel zu übertragen, komme da aber nicht weiter...
Ich habe als charakteristisches Polynom

p_{A} (t) = - t^{3} + 12 t^{2} + 8

und wenn ich dann

p_{A} (0)

ausrechne ergibt das auch die Nullmatrix.
Meinst du jetzt, dass man

p_{A} (t)

auch darstellen kann als

p_{A} (t) = a_{0} + t \cdot q (t) = 8 + t \cdot (- t^{2} + 12 t)

und dann soll

r (t) = - \frac{1}{8} \cdot q (t) = - \frac{1}{8} \cdot (- t^{2} + 12 t) = \frac{1}{8} t^{2} - \frac{12}{8} t

sein? Wie kommst du dann drauf, dass

r (t) \cdot t = 1 - p_{A} (t) = t^{3} - 12 \cdot t^{2} - 7

ist?

Ich verstehe auch leider schon die Formulierung "die Inverse von A als Polynom in A" nicht und verstehe somit auch garnicht, wo dein Weg hinführen soll

: (

rapish aktiv_icon

11:29 Uhr, 25.05.2010

dein Polynom für

d)

ist aufjeden Fall richtig - mich wundert jedoch, warum du bei

t = 0 p (0) = 0

herausbekommst - bei mir bleibt da

p (0) = 8

stehen.

Naja das brauchst du jedenfalls nicht

Aufgabe

c)

und auch Aufgabe

d)

kannst du nach dem gleichen Schema lösen.

schau in deinem Hefter nach, wie bei dir ein allgemeines charakteristisches Polynom definiert wurde, danach ersetzt du jedes

t

durch ein A und schließlich

a_{0},

also die Zahl ohne

t

durch

E

Schließlich stellst du die Gleichung so um, dass

E = A \cdot (... ...)

herauskommt
Das

(... ...)

stellt damit dein

A^{- 1}

dar, müsste eig. verständlich sein.

auf diese Weise bekommst du bei

c)

eine allgemeine Form für

A^{- 1}

heraus und bei

d)

durch einsetzen und ausmultiplizieren ein spezielles

A^{- 1}

.

Gruß rapish

sventja

13:25 Uhr, 25.05.2010

Hey!
Danke für die Antwort!
Ich setze also

p_{A} (A) = a_{n} \cdot A^{n} + a_{n - 1} \cdot A^{n - 1} + ... + a_{1} \cdot A + a_{0} \cdot E

Um das nach

E

auflösen zu können, muss ich das mit Null gleichsetzen...warum mache ich das?
Aus jeden Fall ist dann

E = (- \frac{a_{n}}{a_{0}} \cdot A^{n - 1} - \frac{a_{n - 1}}{a_{0}} \cdot A^{n - 2} - ... - \frac{a_{1}}{a_{0}}) \cdot A

und somit das in der Klammer gleich

A^{- 1},

ja?

P . S

. Ich meinte auch

p_{A} (A) = 0

sventja

13:30 Uhr, 25.05.2010

Ach so...ich mach das, weils einfach so ist (Caley-Hamilton)...wie ich ja bei

P . S

. geschrieben habe :-)

ok, danke für die hilfe!

rapish aktiv_icon

13:45 Uhr, 25.05.2010

kein Problem

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