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Inverse Matrizen

Schüler , 13. Klassenstufe

Tags: Eigenschaft, Inverse Matrix

Stochastikfeind aktiv_icon

03:52 Uhr, 30.12.2011

Es seien

A, B

zwei quadratische Matrizen der Ordnung

n x n

und

r \in ℝ

(außer die

0)

. Dann gilt:

a)

ist A invertierbar, dann ist auch die Inverse

A^{- 1}

invertierbar und es gilt

{(A^{- 1})}^{- 1} = A

b)ist A invertierbar, dann ist auch die Transponierte

A^{T}

invertierbar und es gilt

{(A^{T})}^{- 1} = {(A^{- 1})}^{T}

Hätte jemand vielleicht Beispiele dazu? Der Prof meinte wenn man diese Regelungen kennt und versteht, dann kann man ne Menge Zeit sparen in der Klausur, deswegen will ich sie unbedingt verstehen. Danke im Voraus

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix

Underfaker aktiv_icon

08:58 Uhr, 30.12.2011

Also im Prinzip stteht da jetzt fast garnichts, denn das sind standard Regeln die man eiegntlich immer rbaucht (vor allem die erste).

Weißt du was allgemein mit "invers" gemeint ist?

Irgendwas ist invers zu etwas anderem (hier in deinem Fall bspw.

A)

sodass wenn du diese beiden verknüpfst dann kommt das neutrale Element raus.

In deinem Fall, also Matrizenrechnung, die inverse Matrix zu a ist

A^{- 1}

und wenn du diese multiplizierst kommt

E

raus, die Einheitsmatrix ist in der Matrizenrechnung das neutrale Element.

Bsp.:

2 x 2

Matrix (weil muss ja quadratisch sein)

(\begin{matrix} 3 5 | 1 0 \\ 6 7 | 0 1 \end{matrix})

Wir haben Matrix A aufgeschrieben und rechts daneben die Einheitsmatrix, jetzt formen wir um, bis links die Einheitsmatrix steht.

II - 2I

(\begin{matrix} 3 5 | 1 0 \\ 0 - 3 | - 2 1 \end{matrix})

+ \frac{5}{3}

(\begin{matrix} 3 0 | - \frac{7}{3} \frac{5}{3} \\ 0 - 3 | - 2 1 \end{matrix})

: 3;

II:(-3)

(\begin{matrix} 1 0 | - \frac{7}{9} \frac{5}{9} \\ 0 1 | \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \end{matrix})

Der Rechte Teil ist unsere Inverse

A^{- 1}

Wenn wir jetzt

A \cdot A^{- 1}

rechnen, müsste

E,

also die Einheitsmatrix rauskommen.

Ich nehme es vorweg, habe es multipliziert und tatsächlich haben die damit die Einheitsmatrix raus. (Will ich aber nciht aufschreiben, weil Matrizen hier echt doof zu schreiben sind...)

Das braucht man

z

. B. wenn sowas gilt:

A \cdot B = C

Wenn du jetzt aber nciht A und

B

gegeben hast sondern bspw. A und

C

und du brauchst

B,

dann musst du umstellen

(A^{- 1} v

l

. multiplizieren):

B = A^{- 1} \cdot C

und jetzt müsstest du die inverse von A bilden und mit

C

multiplizieren.

Zu dem Transponieren gibt es garnicht soviel zu sagen.
Transponieren heißt die erste Zeile wird zur ersten Spalte, die zweite Zeile zur zweiten Spalte usw.

A^{T} \Rightarrow (\begin{matrix} 3 6 \\ 5 7 \end{matrix})

Und jetzt ist es egal ob du erst invertierst und dann tranponierst oder andersrum, am Ende sollte dasselbe rauskommen, ich habe jetzt (sorry) nicht die Lust nochmal das Ganze zu berechnen deswegen schreibe ich nur das Ergebnis auf.

Wir invertieren

A^{T}

und erhalten:

(\begin{matrix} - \frac{7}{9} \frac{2}{3} \\ \frac{5}{9} - \frac{1}{3} \end{matrix})

und dann fällt sogar schon was auf ;-)

Wenn wir nämlich die Inverse von A also

A^{- 1}

jetzt transponieren erhalten wir eben diese Werte die wir gerade berechnet haben *hust*.

Und damit erkennen wir, dass die Reihenfolge dieser beiden Operationen egal ist, sofern sie beide angewendet werden.

Eigentlich sind das keine so schwer zu verstehenden Regeln, wenn man einmal gesehen hat was gemeint ist.

Wenn du noch Fragen hast, hau rein. :-)

Stochastikfeind aktiv_icon

14:51 Uhr, 30.12.2011

ich danke dir. ich sag dir mal, wie ich

a)

verstanden hab, korrigiere mich bitte sobald ich was falsches sage:

"ist A invertierbar"....(also wenn sich ein

B (A^{- 1})

finden lässt was ich mit A multipliziere und wo dann

E

resultiert), "dann ist auch die inverse

A^{- 1}

invertierbar"(ich habs so verstanden, dass man das gleiche spielchen dann auch mit der inversen machen kann...also wieder ein

B

suchen was ich dann mit A multipliziere wo dann

E

resultiert..aber genau hier liegt mein problem, es muss ja laut formel bei der Inverse A resultieren und nicht

E,

siehe hier

- \to {(A^{- 1})}^{- 1} = A

(Und nicht

E!)

oder kann man die formel auch einfach so ausdrücken: die inverse der inversen ist A und weil A invertierbar ist ist auch die Inverse invertierbar? ich kann mir einfach nicht vorstellen, warum die inverse der Inversen A gleich A ist, also warum

{(A^{- 1})}^{- 1} = A

ist, genau dazu fehlt mirn Beispiel ums mir zu verdeutlichen.

zu

b)

wieder erläuter ich dir, wie ich es verstanden hab: "ist A invertierbar" (also wenn sich ein B(also

A^{- 1})

finden lässt was ich mit A multipliziere und wo dann

E

resultiert), dann ist auch die Transponierte

A^{T}

invertierbar ist( also dann lässt sich für die transponierte ebenfalls ein

B

finden was ich dann mit

A^{T}

multipliziere wo dann

E

resultiert)

Underfaker aktiv_icon

15:31 Uhr, 30.12.2011

Das "Problem" liegt vielleicht in der allgemeinen Darstellung von Matrizen, ist etwas ungewohnt.

ich erklär dir

a)

mal an Zahlen.

Es gibt bei der Addition ein inverses und neutrales Element, es gibt bei der Multiplikation selbige Elemente, .. usw-

Addition:

2 + 0 = 2 (o

ist das neutrale Element)

2 + (- 2) = 0 (- 2

ist das inverse Element)

- 2 + 2 = 0 (2

ist das inverse Element zu

- 2)

Und es ist genau dasselbe bei Matrizen.

Analog die Multiplikation:

2 \cdot 1 = 2 \Rightarrow

Neutrales Element

= 1

2 \cdot

= 1

Lösung:

\frac{1}{2}

(Kehrwert)

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

Auch hier gilt Das Inverse von dem inversen einer Zahl ist diese Zahl selbst.

1 = 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1

Ich hoffe damit wird das deutlicher...

Zu

b)

Was du gesagt hast ist zwar richtig aber das ist nicht das was

b)

aussagen wollte, denn das steht ja als Aussage schon im ersten Teil des Satzes als Definition.

Du meintest aus "A ist invertierbar" folgt, dass "

A^{T}

auch invertierbar ist"
(wenn ich das richtig verstanden hab).

Vielmehr ist gemeint, du kannst, wenn du

{(A^{T})}^{- 1}

haben willst, erst A invertieren und dann transponieren oder aber erst transponieren und dann invertieren, am Ende kommt dasselbe raus. Deshalb gilt ja gerade die Gleichheit.

Stochastikfeind aktiv_icon

17:47 Uhr, 30.12.2011

danke für deine mühe, ich glaub ich habs langsam verstanden!

eine ähnliche argumentation müsste ja auch für diese 2 Aussagen gelten:

c)

Sind A und

B

invertierbar, dann ist auch das Produkt

A \cdot B

invertierbar und es gilt

{(A \cdot B)}^{- 1} = B^{- 1} \cdot A^{- 1}

Das heißt, wenn

A \cdot B

invertierbar sind, also wenn

A \cdot B

die Einheitsmatrix ergeben, dann müsste auch

B^{- 1} \cdot A^{- 1},

also die Inverse von

B

und A separat multipliziert ebenfalls die Einheitsmatrix ergeben?

d)

ist A invertierbar, dann ist auch

r \cdot A

invertierbar und es gilt

{(r \cdot A)}^{- 1} = \frac{1}{r} \cdot A^{- 1}

also

\frac{1}{r} \cdot A^{- 1} \cdot (r \cdot A)

müsste

E

ergeben, richtig?

Underfaker aktiv_icon

17:55 Uhr, 30.12.2011

Kein Problem dafür ist das Forum da :-)

Bis auf einen kleinen Schönheitsfehler stimmt

c)

.

Du hast geschrieben

A \cdot B =

Einheitsmatrix, du meintest sicher die Inverse von

A \cdot B

? Dann stimmts.

Wenn da also steht, berechnen Sie

A^{- 1} \cdot B^{- 1},

dann empfehle ich dir statt zwei Inversen zu bilden, zu erst

A \cdot B

zu rechnen und dann die inverse von dem Produkt zu bilden, damit sparst du dir Zeit.

Und das sagt eben dieser Satz aus.

d)

Jap

Selbes Spiel wie oben, du kannst direkt multiplizieren und dann invertieren.

Deine abshcließende Frage ist korrekt:

{(r \cdot A)}^{- 1} \cdot (r \cdot A) = E

und wenn ja Gleicheit gilt, kannst du

{(r \cdot A)}^{- 1}

natürlich auch damit ersetzen.

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