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Isoklinenmethode DGL

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

caretaker aktiv_icon

15:40 Uhr, 10.06.2018

Hallo,

ich hab wiedermal ein kleines Problem...

Bei der Aufgabe im angehangenen Bild komme ich nicht weiter. Ich denke jedoch, dass ich schon den richtigen Ansatz habe.

f' - f = x^{2}

hab ich umgestellt nach

f' = x^{2} - f

daraus hab ich dann

x^{2} + f = c

gemacht und dies dann umgestellt nach

f = c - x^{2}

Hier hab ich dann zunächst die Isoklinen gebildet:

i - 1 (x) = - 1 - 1 x^{2}

i 0 (x) = 0 - x^{2}

i 1 (x) = 1 - x^{2}

i 2 (x) = 2 - x^{2}

usw.

c

kann jeden beliebigen Wert annehmen und für jeden ergibt sich eine auf dem Kopf stehende Parabel, deren Zentrum an jener Stelle liegt, welchen Wert

c

angenommen hat (siehe Bild

2)

.

Wie geht es aber ab hier weiter?

Ich weiß das die Lösung der DGL

c \cdot e^{x} - x^{2} - 2 x - 2

sein muss und die Randbedingung

f (- 1) = 1

c \cdot e^{- 1} - {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - 2 = 1

ist dann erfüllt, wenn

c = 0

annimmt, denn

c \cdot e^{- 1} = 0

und

0 - {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - 2 = 1

trifft dann zu.

Aber wie kommt ich von den Isoklinen darauf? Soll ich überhaupt von den Isoklinen darauf kommen oder hab das falsch verstanden? Ein Denkanstoß könnte mir hier schon sehr helfen.

Ich danke schonmal im voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

19:00 Uhr, 10.06.2018

Hallo
du schreibst oder arbeitest zu unkonzentriert
dein Isoklinen sind richtig, allerdings kommt man damit nicht weit- auf den Isoklinen sollte man jeweils die Richtungspfeile einzeichnen diedazugehören, ich hab dir ein Bild ohne die Isoklinen, aber mit Richtungspfeilen in vielen Punkten, manche nennen auch da Isoklinenmethode,
mit dem Richtungspfeilen, kann man sich dann , indem man ihnen folgt, Lösungen zeichnen .
Gruß ledum

caretaker aktiv_icon

19:52 Uhr, 10.06.2018

Ich gehe also die verschiedenen Punkte ab, also als Beispiel

[- 1, - 1] [- 1,

]

und ähnliches, setze dann die Punkte in meine Ableitung ein. In meinem Fall

f' = x^{2} + f

.
Dann erhalte ich entsprechend meiner Punkte die Steigung an jener Stelle. Würde ich das in meinem Beispiel also mal für den Punkt

[1,1]

machen, wäre die Steigung an dieser Stelle 1. Entsprechend würde ich dann einen Richtungspfeil mit der Steigung 1 an der Stelle

[1,1]

einzeichnen, versteh ich das richtig?

Wenn ich das für ausreichend viele Punkte wiederhole, sollte sich ein Richtungsfeld aus den vielen verschiedenen Richtungspfeilen bilden, die mir durch ihre Steigung den Weg vorgeben und durch die ich dann beim verbinden die Lösungen zeichne bzw. die partikuläre Lösung für meine gegebene Randbedingung erhalten kann oder?

ledum aktiv_icon

19:57 Uhr, 10.06.2018

Hallo
genau das sollte dir mein Bildchen zeigen.
Gruß ledum

caretaker aktiv_icon

20:03 Uhr, 10.06.2018

Großartig, dann hab ich das ja richtig verstanden.
Nun weiß ich auch für die Zukunft was hier zu tun ist.

Vielen Dank für die Hilfe!

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