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Isolierte Singularitäten und Residuen
Universität / Fachhochschule
Funktionentheorie
Tags: Funktionentheorie
 
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Hallo zusammen, ich hänge gerade an dieser Proposition, ich poste sie unten. Meine Frage dazu ist eigentlich nur, wie es sein kann, dass die Funktionen und im Punkt isolierte Singularitäten haben und gleichzeitig Nullstellen. Ist das ein Fehler, oder kann eine Nullstelle per Definition auch eine Singularität sein? Unsere Definition von isolierter Singularität: heißt isolierte Singularität , wenn \ (ohne) holomorph ist offene Teilmenge der komplexen Zahlen)  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"f und g im Punkt z0 isolierte Singularitäten haben und gleichzeitig Nullstellen. Ist das ein Fehler" Ja, ein Fehler. |
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Hallo, nach der Definition, die man so auch bei Wikipedia findet, kann die Funktion in einer isolierten Singularität auch holomorph sein, also z.B. eine Nullstelle haben. "Regularitäten sind auch isolierte Singularitäten" ;-) Gruß ermanus |
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Ich lese hier: de.wikipedia.org/wiki/Isolierte_Singularit%C3%A4t dass es drei Typen von is. Sing. gibt: hebbar, Pol oder wesentlich. Wenn hebbar, dann ist die Funktion in der Tat holomorph fortsetzbar in den Punkt. Aber hebbar ist sie doch dann, wenn man die Funktion zuerst mal in den Punkt fortsetzen muss, weil sie in dem Punkt nicht definiert ist. Wenn da schon eine Nullstelle ist, dann muss man die Funktion doch nicht fortsetzen. Was gibt's bei einer Nullstelle zu heben? Ich denke deshalb, dass in der Aufgabe gemeint ist, dass "keine wesentliche Singularität" ist. |
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Hallo zusammen, erstmal vielen Dank euch! @DrBoogie, den letzten Post von dir verstehe ich nicht ganz, wenn keine wesentliche Singularität sein darf, könnte es ja immernoch eine isolierte Singularität sein und damit (nach deiner Definition) keine Nullstelle, oder ? |
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Ich verstehe es so, dass generell keine wesentliche Singularität ist, aber in einzelnen Teilpunkten darf sie mal eine Singularität (aber keine wesentliche) sein oder mal keine (für mich ist Nullstelle keine Singularität). |
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Ah okay, aber in diesem Fall ist die Formulierung als Voraussetzung dann unglücklich gewählt, denn es steht ja "z_0 eine nicht-wesentliche (aber) isolierte Singularität".:-) |
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Ich halte die Art, wie DrBoogie die Begriffe verwendet, für praktikabler als die bei Wikipedia oder in deinem Text. Warum sollte man eine Stelle, an der holomorph ist, eine Wie-Auch-Immer-Singularität nennen. |
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Alles klar, vielen DAnk euch :-) |
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Ich finde die Formulierung zumindest ziemlich irreführend. |
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Ja das stimmt! |
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Hallo zusammen, ich dachte eigentlich ich hätte es verstanden, aber ich störe mich nun an folgender Aussage: Sei f: D \{z_0} -> C eine isolierte Singularität und f habe um z_0 lokal eine Laurentreihenenwicklung. ISt z_0 eihe hebbare Singularität, so gilt res_z_0(f)=0. So weit so gut. Aber als Beispiel: res_pi(cos)=0 . Warum ist pi eine isolierte Singularität des Cosinus? LG |
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"Warum ist pi eine isolierte Singularität des Cosinus?" Ist gar keine. Cosinus ist holomorph auf ganz . Wo hast diesen Blödsinn her? |
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Ja das dachte ich auch.. Hier nochmal die Definition aus unserem Skript sowie das Beispiel, LG    |
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Der Autor des Skripts ist nun leider so unkreativ, dass es keine "richtige" hebbare Singularität finden kann und stattdessen eine "künstliche" auftischt. Natürlich kann man sagen: "tun wir so, als ob Kosinus im Punkt nicht definiert wäre und nur drum herum und schauen, was das für eine Singularität ist". Das ist sehr billig. Es ist halt ein Skript, kein Buch (aber auch Bücher sind leider oft voll mit Fehlern). Die Definition ist übrigens auch unsauber, da steht schon am Anfang "wenn holomoph ist", aber nicht gesagt, wo sie denn holomorph ist. Kurz gesagt, der Autor des Skripts ist halt kein guter Dozent. Pech. Lies lieber richtige Bücher und nicht mangelhafte Skripts. |
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Ok, dann halte ich mich lieber an die Begrifflichkeiten von oben, danke dir! LG |
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Das klassische Beispiel einer hebbaren Singularität ist übrigens im Punkt . Hier ist die Funktion tatsächlich zunächst nicht definiert. |
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Hallo, wenn du dieses Beispiel noch aufgreifst hätte ich tatsächlich noch eine Rückfrage zur Thematik. In deinem Beispiel kann ich die holomorphe Fortsetzung ,die wir für eine hebbare Singularität fordern, ja einfach über die Potenzreihenentwicklung des Sinus finden. Wie mach ich das denn im Allgemeinen? Kann ich irgendwie damit argumentieren, wenn eine stetige Fortsetzung (also wie im reellen über den Grenzwert) in den Punkt z_0 existiert? LG |
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Eine stetige Fortsetzung reicht wirklich aus, denn aus diesem Satz de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher_Hebbarkeitssatz folgt dann, dass sie auch holomorph ist. Es reicht sogar, wenn konvergiert bei (auch dort zu sehen). Und im Übrigen, jede holomorphe Funktion hat eine Darstellung als Potenzreihe. |
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Super , vielen DAnk für deine/ eure hilfreichen Antworten :-) LG |
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