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Isomorphie zwischen Gruppen

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, Isomorphie

Katie aktiv_icon

20:53 Uhr, 10.11.2009

Hallo!
Ich habe mal wieder eine Frage... Ich soll zeigen, dass die beiden Gruppen

(ℤ_{6}, +_{6})

und

(ℤ_{7}

{

0},

\cdot_{7})

isomorph sind.
Ich habe also zuerst versucht, eine passende Funktion zu finden.
Ich weiß, dass das neutrale Element auf das neutrale und selbstinverse Elemente auf selbstinverse Elemente abgebildet werden.
Es gilt also

f (0) = 1

und

f (4) = 6

.
Nun habe ich ja für

f (1), f (2), f (3)

und

f (5)

verschiedene Möglichkeiten, insgesamt ja

4!

. Muss ich für alle diese verschiedenen Funktionen überprüfen, ob sie strukturerhaltend sind, also ob

f (x +_{6} y) = f (x) \cdot_{7} f (y)

ist und das jeweils für alle

x, y

aus

ℤ_{6}

?

Oder gibt es einen einfacheren, schnelleren Weg? Werden

z . B

. erzeugende Elemente auf erzeugende Elemente abgebildet?

Wäre super, wenn ihr mir da nochmal helfen könnt!

hagman aktiv_icon

21:19 Uhr, 10.11.2009

Wenn du einerzeugendes auf ein erzeugendes abbildest, bist du fertig. (Warum?)

Katie aktiv_icon

21:26 Uhr, 10.11.2009

Schon wieder so eine schnelle Antwort, danke :-)

Ist es denn so, dass die erzeugenden auf die erzeugenden abgebildet werden?
Hier also

f (3) = 6

? Wäre dann

f (3 +_{6} 3) = f (6 \cdot_{7} 6)

usw. und ich könnte mir so die Funktion aufbauen? Das wäre natürlich sehr hilfreich,aber stimmt das so?

hagman aktiv_icon

08:14 Uhr, 11.11.2009

Bei einem Isomorphismus bliebt *jede* Eigenschaft erhalten, die sozusagen von innen heraus allein über die Gruppeneigenschaft definiert ist. Erzeugendes Element ist so eine.

a \in G

ist erzeugendes Element

: \Leftrightarrow \forall b \in G : \exists n \in ℤ : b = a^{n}

Für

b \in G

mit

a^{n} = b

gilt dann natürlich

f (b) = f (a^{n}) = {f (a)}^{n},

also ist auf jeden Fall

f (a)

erzeugendes der Untergruppe

f (G)

.
Zum Nachweis, dass

G = \frac{ℤ}{6 ℤ}

und

H = {(\frac{ℤ}{7 ℤ})}^{\times}

isomorph sind, musst du in

H

ein Element der Ordnung 6 findenund die Vielfachen des Standarderzeugenden von

G

auf die Potenzen dieses Elements abbilden.

Katie aktiv_icon

09:42 Uhr, 12.11.2009

Danke für die Antwort, so ganz verstehe ich sie aber nicht.
Okay, erzeugende Elemente werden auf erzeugende Elemente abgebildet, das hilft mir ja schonmal weiter. In diesem Fall wird also die 1 auf die 3 abgebildet.

Ich muss jetzt in

(ℤ_{7}

{

0}, ⋅7) ein Element der Ordnung 6 finden?
Zunächst einmal: Warum der Ordnung 6? Weil

(ℤ_{6}, +_{6})

die Ordnung 6 hat?
Und weiter: Wie kann ein Element die Ordnung 6 haben? Ich dachte immer, dass nur Gruppen eine Ordnung haben können, nämlich die Anzahl der Elemente der Menge...

Ich steh da gerade auf dem Schlauch....

hagman aktiv_icon

12:00 Uhr, 12.11.2009

Es wird nicht "also" 1 auf 3 abgebildet. Beide Gruppen haben mehrere Erzeugende.
Richtig lautet die Aussage:
Wenn

f : G \to H

ein Gruppenisomorphismus ist und

g \in G

ein Erzeugendes (oder

{g_{1}, ..., g_{n}}

ein Erzeugendensystem), dann ist

f (g) \in H

ein Erzeuger (oder

{f (g_{1}), . .

f (g_{n})}

ein Erzeugendensystem)
Aber das hilft wenigstens auf der Suche nach einem (ja angeblich existenten) Isomorphismus enorm.

Ist

G

eine Gruppe, so bezeichnet man die Anzahl

| G |

der zugrunde liegenden Menge als Ordnung der Gruppe.
Aber man spricht auch von der Ordnung eines Elementes

g \in G

und meint damit die Ordnung der von

g

erzeugten Untergruppe bzw. das kleinste

n \in ℕ

mit

g^{n} = e

.
In

(ℤ_{6}, +_{6})

gilt beispielsweise ord(0)=1, ord(1)=ord(5)=6, ord(2)=ord(4)=3, ord(3)=2.
Genau wegen ord(1)=ord(5)=ord(G) gilt übrigens, dass sowohl 1 als auch alternativ 5 erzeugendes Element von

G

ist.
Betrachte die Potenzen der Elemente von

((ℤ_{7} \ {0}, \cdot_{7}) :

1^{n} = 1, 1, 1, 1, . .

2^{n} = 2, 4, 1, 2, 4, 1, . .

3^{n} = 3, 2, 6, 4, 5, 1, . .

4^{n} = 4, 2, 1, . .

5^{n} = 5, 4, 6, 2, 3, 1, . .

6^{n} = 6, 1, 6, 1, . .

.
usw.
Also gilt hier ord(1)=1 (natürlich grundsätzlich ord(e)=1), ord(2)=3, usw.
Offenbar sind 3 und 5 Erzeuger der ganzen Gruppe.
Wir können daher

1 \mapsto 3

(oder wahlweise auch

1 \mapsto 5)

versuchen.
Der Rest ist dann natürlich festgelegt, nämlich

0 \mapsto 1

1 \mapsto 3

2 = 1 + 1 \mapsto 3 \cdot 3 = 2

3 = 1 + 1 + 1 \mapsto 3 \cdot 3 \cdot 3 = 6

usw.
Wie gesagt, könntest du ebenso von

1 \mapsto 5

ausgehen, ja sogar (aber das egäbe dieselben zwei Isomorphismen) von

5 \mapsto 3

bzw.

5 \mapsto 5

Katie aktiv_icon

12:35 Uhr, 12.11.2009

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung, ich glaube, das hilft mir schon sehr weiter. Die zweite Deutungsvariante des Begriffs Ordnung kannte ich noch nicht.
Ich werde den Ansatz versuchen nachzuvollziehen und auch mit meiner Lernpartnerin besprechen. Falls ich dann noch Verständnisfragen haben, würde ich diese nochmal hier posten.

Vielen Dank!

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