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Isoquante bestimmen

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Sonstiges

Tags: Isoquante, Produktion, Sonstig

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23:32 Uhr, 25.04.2018

Hallo Matheforum,

ich hätte eine Frage zu diesem Beispiel (siehe Anhang):

Bei

a)

: Ich stelle mir die Isokostengeradengleichung wie folgt auf:

C = w L + r K

C = 5 L + 10 K

1000 = 5 L + 10 K

10 K = 1000 - 5 L

Dies wäre meine Gleichung für die Isokostengerade. Doch wie zeichne ich die Isoquante? kann mir dabei jemand helfen?

Ich bin für jede Antwort dankbar :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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10:07 Uhr, 26.04.2018

Kann mir hierbei keiner hwlfen?..

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17:50 Uhr, 26.04.2018

Wie du die Isoquante zeichnen sollst, wenn die Verknüpfung von Kapital und Arbeit bei der Produktionsfunktion nicht klar ist, ist mir schleierhaft. Ist denn in den vorherigen Teilaufgaben angegeben, wie prinzipiell die Prod-Funktion aussieht?

Gruß

pivot

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19:02 Uhr, 26.04.2018

Ich habe nur diese Aufgabenstellung, leider nichts anderes.

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19:35 Uhr, 26.04.2018

Ich habe eben ein bisschen gegoogelt. Da steht, dass man eine "typische Isoquante" zeichnen soll. Also typische Prod-Funktion wäre z.B.

Y = A^{⅓} \cdot K^{⅔}

. Damit könnte man arbeiten. Die typische Isoquante ist dann dementsprechend.

Nur zu Klarstellung: Die Funktion für die Isokostengerade ist

K = 100 - \frac{1}{2} L

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19:53 Uhr, 26.04.2018

Nur ich weiß noch immer nicht wie ich

a)

angehen soll..

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21:28 Uhr, 26.04.2018

Du musst mit Hilfe von Lagrange die optimale Faktorkombination ausrechnen.

ℒ = A^{\frac{1}{3}} \cdot K^{\frac{2}{3}} + λ (1000 - 5 A - 10 K)

Partiell ableiten und jeweils 0 setzen.

\frac{\partial ℒ}{\partial A} = \frac{1}{3} \cdot A^{- \frac{2}{3}} \cdot K^{\frac{2}{3}} - 5 λ = 0 \Rightarrow \frac{1}{3} \cdot A^{- \frac{2}{3}} \cdot K^{\frac{2}{3}} = 5 λ (1)

\frac{\partial ℒ}{\partial K} = \frac{2}{3} \cdot A^{\frac{1}{3}} \cdot K^{- \frac{1}{3}} - 10 λ = 0 \Rightarrow \frac{2}{3} \cdot A^{\frac{1}{3}} \cdot K^{- \frac{1}{3}} = 10 λ (2)

\frac{\partial ℒ}{\partial λ} = 1000 - 5 A - 10 K = 0

Nun (1) durch (2) teilen.

\frac{1}{2} \frac{K}{A} = \frac{1}{2}

Die Gleichung mit 2 und A multiplizieren. Daraus folgt

K = A

. In die dritte Gleichung für K die Variable A einsetzen.

1000 - 15 A = 0 \Rightarrow A = \frac{1000}{15} = \frac{200}{3} = 66, 67 = K

Auf deiner eingezeichneten Isokostengerade

K = 100 - 1 / 2 \cdot L

berührt die Isoquante den Punkt

(x; y) = (66, 67; 66, 67)

Bei der Isoquante kannst du den typischen verlauf nehmen.

Du kannst aber auch ein paar Punkte einsetzen für das Niveau

{(\frac{200}{3})}^{1 / 3} \cdot {(\frac{200}{3})}^{2 / 3} = \frac{200}{3}

. Dazu muss man die Prod-Funktion nach K auflösen.

\frac{200}{3} = A^{\frac{1}{3}} \cdot K^{\frac{2}{3}}

Mit 3 potenzieren

{(\frac{200}{3})}^{3} = A \cdot K^{2}

Durch A teilen und die Wurzel ziehen.

K = \sqrt{{(\frac{200}{3})}^{3} / A}

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21:38 Uhr, 26.04.2018

Nur wie komme ich auf die Lagrange Formel?

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21:42 Uhr, 26.04.2018

Wie komme ich darauf dass die Produktionsfunktion

Y = A^{\frac{1}{3}} * K^{\frac{2}{3}}

ist?

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22:17 Uhr, 26.04.2018

Das ist der übliche Lagrange-Ansatz der sehr gerne in der Mikroökonomie verwendet wird. Eigentlich solltest du schon einmal davon gehört haben. Hier kannst du noch mal ein Beispiel nachlesen: blog.studyflix.de/der-lagrange-ansatz/. Es gibt auch noch viele andere Beispiele im Netz.

Die Art und Ausgestaltung der Produktionsfunktion habe ich mir jetzt ausgedacht. Sie ist aber eine ganz typische Produktionfunktion, nämlich eine Cobb-Douglas Produktionfunktion.

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00:42 Uhr, 27.04.2018

Also kann ich auch die Funktion

Q_{0} = L^{0, 4} * K^{0, 6}

nehmen oder?

Ich habe jetzt den Lagrange-Ansatz verwendet bei dieser Produktionsfunktion und erhalte

L = 80

und

K = 60

.

Dies dürfte so stimmen oder?

Nur wie forme ich jetzt meine Produktionsfunktion so um, sodass ich eine Isoquante zeichnen kann?

Mein Produktionsniveau beträgt

67, 317

.

Dies bedeutet:

\frac{67, 317}{l^{0, 4}} = K^{0, 6}

. Wie kann ich das jetzt nach

K

umformen, sodass ich mir eine Wertetabelle erstellen kann und die Isoquante zeichnen kann?

Enano

03:29 Uhr, 27.04.2018

Hallo desaster,

"Also kann ich auch die Funktion

. .

. nehmen oder?"

Ja.

"Dies dürfte so stimmen oder?"

Ja, das stimmt.

"Wie kann ich das jetzt nach

K

umformen,..."

K^{0,6} = \frac{67,317}{L^{0,4}}

K^{\frac{3}{5}} = \frac{67,317}{L^{0,4}}

{(K^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = {(\frac{67,317}{L^{0,4}})}^{\frac{5}{3}}

K = {(\frac{67,317}{L^{0,4}})}^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{{(\frac{67,317}{L^{0,4}})}^{5}}

@pivot

"Da steht, dass man eine "typische Isoquante" zeichnen soll."

Wo steht das? Jedenfalls doch nicht in dem hier vorgelegten Aufgabentext, oder?

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11:06 Uhr, 27.04.2018

Okey wenn ich dann die Isoquante zeichne bekomme ich den Tangentialpunkt

(80; 40)

. Doch wie beweise ich dass dies die optimale Inputkombination ist? Oder muss ich da nix mehr machen?

Und wie würde ich

b)

angehen?

Da wäre meine neue Isokostengerade

K = 100 - L

. Doch was müsste ich dann weiter machen?

Ich würde mich wirklich über eure Hilfe freuen :-)

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00:06 Uhr, 28.04.2018

Und ich hätte noch eine Frage zu

c)

:

Wie zeige ich dort dass nicht mit minimalen Kostem produziert werden kann?

Enano

11:06 Uhr, 28.04.2018

"... bekomme ich den Tangentialpunkt (80;40)."

Du meinst wohl

(80; 60)

.

"Oder muss ich da nix mehr machen?"

Zu

a)

hast du schon mehr gemacht, als gefordert war, indem du die Minimalkostenkombination nicht nur zeichnerisch, sondern auch rechnerisch ermittelt hast.

"Da wäre meine neue Isokostengerade

K = 100 - L

. Doch was müsste ich dann weiter machen?"

Der höhere Preis für die Arbeit führt zu einer größeren (negativen) Steigung der Isokostengerade:

K = - \frac{1}{2} \cdot L + 100 \Rightarrow m = - \frac{1}{2}

K = - L + 100 \Rightarrow m = - 1

Um weiterhin den gleichen Output mit minimalen Kosten produzieren zu können, ergibt das eine neue Kombination von

K

und

L,

bei der Arbeit durch Kapital ersetzt wird.

Die neue optimale Faktorkombination stellst du in deiner Grafik dar, indem du die Isokostengerade mit der Steigung

- 1

vom Koordinatenursprung aus in Richtung Isoquante parallel bis zum ersten Berührpunkt mit der Isoquante verschiebst.
Die Koordinaten

(L, K)

dieses Punktes sind die kostenminimalen Faktorinputs.

Rechnerisch könntest du diesen Punkt ermitteln, indem du die 1. Ableitung deiner Isoquantengleichung nach der Arbeit mit der Steigung der Isokostengeraden gleich setzt und nach

L

auflöst.
Den Wert für

L

setzt du dann in die Isoquantengleichung ein und erhältst somit K.

"Wie zeige ich dort dass nicht mit minimalen Kostem produziert werden kann?"

Du zeichnest eine Isokostengerade mit der Steigung

- 1

die durch

P (80; 60)

verläuft bzw. du verschiebst die

⊙ g

. Gerade parallel bis sie durch diesen Punkt verläuft.
Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der K-Achse ist

\frac{C}{10}

und dieser Wert ist größer, als das unter Aufgabe b)ermittelte

\frac{C_{min .}}{10}

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23:22 Uhr, 28.04.2018

Danke für die ausfürhrliche Antwort. Falls ich noch Fragen habe melde ich mich morgen.

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