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Ist (2,x) ein Hauptideal in Q[x]? Beweis

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie, Hauptideal, Q[x]

 
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Hausholder

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13:03 Uhr, 03.04.2013

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Hallo, ich habe eine Frage zu folgendem Beweis, mir ist klar das die Aussage gilt also (2,x) ein Hauptideal in Q[x] ist, aber ich weiß nicht recht wie ich es richtig aufschreiben muss. Bisher schreibe ich es so:

Ist (2,x) ein Hauptideal in Q[x] (b)?\\\\
Lösung
Annahme: (2,x) ist ein Hauptideal in Q[x].
Beweis: I1=(2,x)=2x+xx∣x∈Q[x]=Q[x]
und I2=(1)=1x∣x∈Q[x]=Q[x] da I2 ein Hauptideal ist und beide Ideale die gleiche Menge, nämlich den ganzen Ring erzeugen, ist auch I1 ein Hauptideal in Q[x].

Nur ich denke der Schritt von 2x+xx∣x∈Q[x]=Q[x] muss noch besser erklärt werden, jedoch weiß ich nicht wie, kann mir jemand sagen wie ich es mathematisch korrekt zeige?!

Mfg Hausi
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michaL

michaL aktiv_icon

13:25 Uhr, 03.04.2013

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Hallo,

ist das eine ernstgemeinte Frage?
ℚ ist doch ein Körper.
Außerdem gilt: Polynomringe über Körpern sind (sogar) euklidisch, also insbesondere auch Hauptidealringe.
Soll heißen: 〈2,x〉 ist natürlich ein Hauptideal in ℚ[x], schon allein deshalb, weil mit 2∈〈2,x〉 auch 1=12⋅2∈ℚ[x]⋅〈2,x〉⊆〈2,x〉 gilt, woraus 〈2,x〉=ℚ[x] folgt.

Kann es sein, dass es eigentlich um 〈2,x〉⊆ℤ[x] geht?
Da sieht die Sache nämlich anders aus.

Mfg Michael
Frage beantwortet
Hausholder

Hausholder aktiv_icon

14:02 Uhr, 03.04.2013

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Oh da hab ich wohl geschlafen, natürlich hast du recht!

Ja das es in Z[x] kein Hauptidealring ist habe ich vorher bewiesen und auch hinbekommen, vielleicht habe ich daher garnicht an so eine leicht lösung gedacht ;-)!

Danke!