Ist die Reihe beschränkt?

Ist ${\displaystyle \sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}}$ beschränkt?

Beschränkt heißt, das die Reihe eine obere und eine untere Schranke hat.

Durch PBZ habe ich das rausbekommen: ${\displaystyle \sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}=\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\frac{1}{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\frac{1}{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1})=\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}$

1/k k-->oo ist Null und 1/(k+1) k-->oo ist auch Null

Für große k geht die Reihe gegen Null. Null ist eine Schranke der Reihe.

1/k und -1/(k+1) der kleinste Wert für k, den man einsetzen kann ist 1

1/k =1 und -1/(k+1) -0,5 1-0,5 = 0,5 0,5 Ist ach eine Schranke der Reihe.

Damit ist die Reihe beschränkt??

${\displaystyle \sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}$

Ich kann hier vielleicht die Teleskopreihe anwenden.

Ich kenne die einfacheren Teleskopreihen wo man blos die unteren und oberen Summationsgrenzen abändern muss und schon ist das Summenzeichen weg.

Hier habe ich da im Moment keine Idee.

Auf meinem Blatt steht, dass der Grenzwert 1 ist.

Hmm, klingelt noch nicht.

Also 1/1 bleibt stehen und -1/(k+1) bleibt auch stehen.

Alles anderen Summanden fallen weg. Und diese wegfallenden Summanden muss ich nur noch als Summe(n) schreiben...

${\displaystyle -\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$=Null

${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=1-\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}$ braucht um beschränkt zu sein eine obere und untere Schranke.

n steht ja für die natürlichen Zahlen = 1,2,3,...n

Die kleinste Zahl die ich einsetzten kann, der Startwert ist gleich 1

${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=1-\frac{1}{1+1}=1-0.5=0.5}$

Den größten Wert, denn ich einsetzten kann ist n n--->oo

${\displaystyle \underset{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}1-\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}=\underset{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}1-\underset{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}=1-0=1}$

0,5 ist eine untere Schranke, sogar ein Infimum und 1 ist eine obere Schranke (Supremum), also ist die Reihe beschränkt. Hoffe ich habe das mit dem Infimum und Supremum nicht wieder vergeigt.