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Ist's richtig? Wegintegral eines Quadrates rechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: geschlossenes Wegintegral, Kurvenintegral, Vektoranalysis, Wegintegral

mac-user09 aktiv_icon

10:12 Uhr, 15.01.2013

Hallo,

ich möchte wissen, ob meine Idee/Lösung richtig ist. Es geht um Wegintegrale:

Wir haben ein Vektorfeld (Mit dem ^ sind Vektoren): Â(x,y)=(ax+by, cx+dy)

Berechnen sie das geschlossene Wegintegral ds Umfangs eines Quadrates mit der Seitenlänge

2 L

. Der Mittelpunkt ist der Ursprung, die Seiten sind parallel zu den K-Achsen.

Meine Lösung:

Der Umfang des Quadrates ist ja

4 \cdot 2 L

Ich habe 4 Wegstücke, die so aussehen:

Ê_1 (k)

= (1 L, 1 L) + k (0, - 2 L)

Ê_2 (k)

= (1 L, - 1 L) + k (- 2 L, 0)

Ê_3 (k)

= (- 1 L, - 1 L) + k (0, 2 L)

Ê_4 (k)

= (- 1 L, 1 L) + k (2 L, 0)

Alle Wegstücke zusammen ergeben das Quadrat, daher möchte ich jedes Wegstück getrennt betrachten und am Ende addieren.

Für das erste Wegstück:
Weg û(k)_Ê1

= (1 L,

1L-2Lk)

\Rightarrow

Â(û(k)_Ê1) = (aL

+

bL - 2bLk, cL

+

dL - 2dLk)

\Rightarrow

dû/dk

= (0, - 2 L)

So, nun kommt das Integral:

Die Integralgrenzen müssten ja pro Wegstück 0 und

2 L

sein.

daher kommt für das erste Wegstück:

2 L

Integral 0 von (Â(û(k)_Ê1)

\cdot

(dû/dk))*dk

\Rightarrow - 2 \cdot c \cdot L^{2} \cdot k - 2 \cdot d \cdot L^{2} \cdot k + 2 \cdot d \cdot L^{2} \cdot k^{2}

in den Grenzen

2 \cdot L

und 0

\Rightarrow - 2 \cdot c \cdot L^{2} \cdot 2 \cdot L - 2 \cdot d \cdot L^{2} \cdot 2 \cdot L + 2 \cdot d \cdot L^{2} \cdot {(2 \cdot L)}^{2}

\Rightarrow - 4 \cdot c \cdot L^{3} - 4 \cdot d \cdot L^{3} + 8 \cdot d \cdot L^{4} :=

§1

Nun würde ich für die anderen 3 Wegstücke genau so verfahren und am Ende $1 plus die anderen 3 machen. Das Dürfte dann der Umfang des Quadrates im geschlossenen Wegintegral sein, oder?

Ist das so richtig?
Wenn nicht, wie geht das dann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DerDepp aktiv_icon

12:03 Uhr, 15.01.2013

Hossa :-)

Die von dir angewendete Methode ist immer gut anwendbar, wenn der Weg

\vec{r}

von einem einzelnen Parameter abhängt. In der Physik ist das z.B. die Zeit

t

, also

\vec{r} = \vec{r} (t)

. Das Wegintegral druch ein Vektorfeld

\vec{A} (\vec{r})

ist dann:

\int_{{\vec{r}}_{1}}^{{\vec{r}}_{2}} \vec{A} (\vec{r}) d \vec{r} = \int_{t ({\vec{r}}_{1})}^{t ({\vec{r}}_{2})} \vec{A} (\vec{r}) \frac{d \vec{r}}{d t} d t

Damit lässt sich das Problem auf eine simple Integration (wie in der Schule) zurückführen.

Im vorliegenden Fall ist die Sache noch einfacher. Du kannst das Integral über deine 4 Wege direkt hinschreiben:

\oint_{Quadrat} \vec{A} \vec{d} \vec{r} = \int_{unten} \vec{A} \vec{d} \vec{r} + \int_{rechts} \vec{A} \vec{d} \vec{r} + \int_{oben} \vec{A} \vec{d} \vec{r} + \int_{links} \vec{A} \vec{d} \vec{r}

= \int_{(- L, - L)}^{(+ L, - L)} \vec{A} d \vec{r} + \int_{(+ L, - L)}^{(+ L, + L)} \vec{A} d \vec{r} + \int_{(+ L, + L)}^{(- L, + L)} \vec{A} d \vec{r} + \int_{(- L, + L)}^{(- L, - L)} \vec{A} d \vec{r}

Wegen

\vec{A} \vec{d} r = A_{x} d x + A_{y} d y

reduzieren sich die 4 einzelnen Integrale auf die eine Koordinate, die sich entlang des Weges ändert:

= \int_{(- L, - L)}^{(+ L, - L)} A_{x} d x + \int_{(+ L, - L)}^{(+ L, + L)} A_{y} d y + \int_{(+ L, + L)}^{(- L, + L)} {\vec{A}}_{x} d x + \int_{(- L, + L)}^{(- L, - L)} A_{y} d y

Das musst du jetzt nur noch ausrechnen...

Ok?

mac-user09 aktiv_icon

19:40 Uhr, 15.01.2013

Danke für die Antwort.

Oh ja, dass fällt mir erst jetzt auf, dass es auch so geht, da die Wegstücke ja mehr oder weniger GLeich sind.

A_{x}

bzw.

A_{y}

sind dann bei dir die jeweiligen

x

bzw.

y

Komponente von dem Feld

A,

oder?

Werde das morgen früh mal rechnen und dann meine Lösungen hier eintragen und hoffe, dass sie abgesegnet oder ggfs. korrigiert werden.

Grüße
Mac

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