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Iteration mit Excel für folgende Gleichung

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Tags: Iteration zur Lösung einer Gleichung

Trias aktiv_icon

12:31 Uhr, 19.05.2009

Hallo!

Ich habe folgende Gleichung, die ich iterativ mittels der Solver-Funktion von Excel lösen möchte:

{(1 + \frac{a}{b})}^{2} . 5 = c \cdot (1 + d \cdot \frac{a}{b})

Gegeben sind:

b, c

und

d .

Gesucht ist: a

Hat jemand eine Idee, wie das mit dem Excel-Solver Tool zu lösen ist?

Ich komme hier leider nicht weiter.

Auch eine Reduktion der Gleichung hat mir bisher nicht viel weiter geholfen.

So habe ich, versucht den Quotienten

q (= \frac{a}{b})

iterativ zu bestimmen. Das würde mir auch schon prinzipiell helfen. Dann sieht die Gleichung so aus:

{(1 + q)}^{2} . 5 = c \cdot (1 + d \cdot q)

und das habe ich folgendermaßen zusammengefasst:

\frac{{(1 + q)}^{2} . 5}{c \cdot (1 + d \cdot q)} - 1 = 0

Jetzt habe ich dem Solver so konfiguriert, dass er die Zielzelle mit dieser Funktion gegen 0 streben lässt, indem die Zelle mit dem Wert

q

verändert.

Hier ist ein Beispiel:
mit

c = 1.5

d = 6.76

dann erhalte ich für

q = 2.99

Korrekt (laut Literaturangabe müssten es aber

1.32)

sein! Entsprechend sollten korrekterweise a und

b

Werte von

a = 28.28

b = 21.32

haben.

Meine Fragen sind nun wie folgt:

(1)

Ist mein Vorgehen mit der Umformung wie im Beispiel dargestellt

⊙ k .

(2)

Wenn ja, wie komme ich mittels des Excel-Solver auf die richtige Lösung (im Beispiel)?

(3)

Ist es nicht auch möglich die ursprüngliche Gleichung (ohne Umformung durch Quotienten) iterativ mittels Solver zu lösen?

Schon mal vielen Dank im Voraus!

Beste Grüße

Alex

Edddi aktiv_icon

13:53 Uhr, 19.05.2009

...mit deinen gegebenen Werten

c

und

d

gibt's keine Lösung!!!

Hast du wenigstens mal mit einer (deine Lösung und die vorgegebene Lösung) eine Probe gemacht??

Die Lösung für

q

ergibt sich zu:

q = \frac{c \cdot d - 10}{10} \pm \sqrt{{(1 - \frac{c \cdot d}{10})}^{2} - (1 - \frac{c}{5})} = \frac{c \cdot d - 10}{10} \pm \frac{\sqrt{c^{2} \cdot d^{2} + 20 \cdot c - 20 \cdot c \cdot d}}{10}

bzw, da

q = \frac{a}{b}

und

b

gegebenen:

q = \frac{c \cdot d - 10}{10} \pm \frac{\sqrt{c^{2} \cdot d^{2} + 20 \cdot c - 20 \cdot c \cdot d}}{10}

\frac{a}{b} = \frac{c \cdot d - 10}{10} \pm \frac{\sqrt{c^{2} \cdot d^{2} + 20 \cdot c - 20 \cdot c \cdot d}}{10}

a = \frac{(c \cdot d - 10) \cdot b}{10} \pm b \cdot \frac{\sqrt{c^{2} \cdot d^{2} + 20 \cdot c - 20 \cdot c \cdot d}}{10}

...für eine (reelle) Lösung muss der Wurzelterm größer 0 sein:

\sqrt{c^{2} \cdot d^{2} + 20 \cdot c - 20 \cdot c \cdot d} > 0

daraus folgt:

d > \frac{10}{c} + \frac{\sqrt{100 - 20 \cdot c}}{c}

oder

d < \frac{10}{c} - \frac{\sqrt{100 - 20 \cdot c}}{c}

Da dein

c = 1,5

ergibt sich für

d :

d > \frac{20}{3} + 2 \cdot \frac{\sqrt{70}}{3}

also

d > 12,2444 ...

d < \frac{20}{3} - 2 \cdot \frac{\sqrt{70}}{3}

also

d < 1,0889 ...

da dein

d

mit

6,76

dazw. liegt, gbt's keine Lösung....auch nicht mit Solver oder jedweden anderen Programm...

;-)

Trias aktiv_icon

09:59 Uhr, 20.05.2009

Hi Eddie,

vielen Dank für die Nachricht! Die eigentliche Formel hatte noch einen zusätzlichen Term, den ich zur Vereinfachung weggelassen habe. Deine Hilfe hat mich aber auf den richtigen Weg ggebracht. Nochmal herzlichen Dank!

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