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Jacobi-Verfahren // Gauß-Seidel-Verfahren

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Tags: Sonstig

Stochastikerin

21:23 Uhr, 03.02.2022

Gesamtschrittverfahren:= Jacobi-Verfahren
Einzelschrittverfahren:= Gauß-Seidel-Verfahren

- -

a)

Entscheide für die Matrix, ob Gesamt- bzw. Einzelschrittverfahren für einen beliebigen Startvektor

x^{0}

(i)

(\begin{matrix} 4 & 1 & 2 \\ 2 & - 5 & 2 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1 \end{matrix})

(ii)

((1,0,0, \frac{3}{4}), (0,1,0, \frac{1}{2}), (0,0,1, \frac{1}{4}), (\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 1))

- - -

Jetzt haben wir gelernt, dass sowohl das Gesamt- als auch das Einzelschrittverfahren dann konvergiert, wenn die Matrix strikt diagonaldominant ist.

Überprüfen wir also, ob der Eintrag auf der Diagonale

>

Die Beträge der Summe der restlichen Einträge ist.

Für die Matrix

(i) :

4 < 1 + 2 = 3

5 < 2 + 2 = 4

1 < \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

Die Matrix

(i)

ist damit strikt diagonaldominant und somit konvergiert sowohl das Gesamt- als auch das Einzelschrittverfahren für jeden beliebigen Startvektor

x^{0}

- - -

Für die Matrix (ii) gilt das aber nicht, da:

1 \leq \frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1

Wie kann man nun hier weitergehen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Stochastikerin

10:04 Uhr, 04.02.2022

b)

Zeige, dass das Gesamtschrittverfahren zur Lösung des Gleichungssystems Ax

= b

mit

A = (\begin{matrix} 1 & 2 & - 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix})

und

b = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

für den Startvektor

x^{(0)} = {(1, 1, 1)}^{T}

konvergiert, das Einzelschrittverfahren jedoch nicht.

Hinweis:
Bestimmen Sie beim Gesamtschrittverfahren die Eigenwerte von

M^{- 1} N

. Dabei ist

λ \in K

genau dann ein Eigenwert, wenn

det (A - λ \cdot I) = 0

gilt.

Lösungen Siehe Screenshot.

Meine Frage:

Wie sehe die Antwort aus, wenn wir nach berechnen des char. Poly. nicht nur eine dreifache Nullstelle, sondern beispielweise die Antwort

X_{T} (λ) = . .

= (λ - 4) (λ + 3) (λ - 1)

herausbekommen hätten?
Würde es dann immer noch für jeden beliebigen Startvektor konvergieren?
Denn wofür wird sonst der Startvektor

x^{(0)}

gegeben?
Und: Wie würde man das dann bestimmen?

pwmeyer aktiv_icon

11:44 Uhr, 04.02.2022

Hallo,

dann wäre ja der Spektralradius gleich 4 und das Verfahren würde nicht (für alle Startwerte) konvergieren.

Gruß pwm

Stochastikerin

12:04 Uhr, 04.02.2022

Der Spektralradius ist dann gleich der "größten" Nullstelle?

Kann man das Verallgemeinern?
Wenn der Spektradius

\geq x

(?) ist, dann

- konvergiert das Verfahren für alle Startwerte
- konvergiert das Verfahren nicht für alle Startwerte

pwmeyer aktiv_icon

16:59 Uhr, 04.02.2022

Hmmh,

ich hätte jetzt vermutet, dass das die Aussage von Korollar

7.3

ist

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