Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Jordan Normalform

Jordan Normalform

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert

JaBaa aktiv_icon

13:09 Uhr, 03.08.2020

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu folgendem Problem:

Ich habe eine Matrix

A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

gegeben.

zu dieser will ich eine Jordan- Basis bestimmen.

Dazu berechnete ich

P_{A} = {(λ - 1)}^{3}

und Eig

(1) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

also geometrische Vielfachheit

= 1

und algebraische Vielfachheit

= 3

Dann ist meine Jordan- Normalform

J_{A} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Hieraus müsste ich doch die Jordan-Basis berechnen können und zwar, müsste für die Jordan-Basis

B = (b_{1}, b_{2}, b_{3})

gelten:

(1)

A \cdot b_{1} = b_{1}

(2)

A \cdot b_{2} = b_{1} + b_{2}

und
(3)

A \cdot b_{3} = b_{2} + b_{3}

Den Vektor

b_{1}

kenne ich schon wegen Eig(1)=

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

und dann kann ich

b_{1}

in

(2)´

(A - 1 \cdot E_{3}) \cdot b_{2} = b_{1}

einsetzen um

b_{2}

zu bekommen.
Ja ab hier komme ich nicht weiter, weil ich eine frei wählbare Variable im Gleichunssystem habe, dabei muss die Jordan- Basis doch eindeutig sein ? Auch ein Test mit der Transformationsmatrix die ich bekommen hätte klappt nicht bei mir.

Vielleicht kann mir ab hier jemand helfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

13:14 Uhr, 03.08.2020

"Ja ab hier komme ich nicht weiter, weil ich eine frei wählbare Variable im Gleichunssystem habe, dabei muss die Jordan- Basis doch eindeutig sein ?"

Nein, Basis ist nie eindeutig (es sei denn, der Raum ist ein Nullraum).
Wenn du eine Basis hast, kannst du z.B. einfach alle Vektoren daraus mit der gleichen Zahl multiplizieren, das ändert nix.

DrBoogie aktiv_icon

13:23 Uhr, 03.08.2020

Es gibt übrigens einen Online-Rechner dazu:
www.wolframalpha.com/input/?i=jordan+normal+form+calculator&assumption=%7B%22F%22%2C+%22JordanDecompositionCalculator%22%2C+%22theMatrix%22%7D+-%3E%22%7B%7B1%2C1%2C1%7D%2C%7B0%2C1%2C2%7D%2C%7B0%2C0%2C1%7D%7D%22

JaBaa aktiv_icon

13:25 Uhr, 03.08.2020

Also ich hatte für die Jordan-Basis dann die 3 Vektoren raus:

b_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

b_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

b_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

dies sind doch die Spalten meiner Transformationsmatrix

S

?

Dafür bekomme ich aber nicht meine Jordan-Normalform heraus ?

Es müsste doch dann gelten

J = S^{- 1} \cdot A \cdot S

DrBoogie aktiv_icon

13:29 Uhr, 03.08.2020

Und dass inbesondere die Jordan-Basis nicht eindeutig ist, ist an dem Beispiel offensichtlich:
Wenn

A = d i a g {1, 1, . ., 1}

, also Einheitsmatrix, dann ist sie in JEDER Basis diagonal und daher auch in der Jordan-Form, also ist jede Basis eine Jordan-Basis.

DrBoogie aktiv_icon

13:31 Uhr, 03.08.2020

Mit deinen Vektoren ist

(A - 1) b_{3} \neq b_{2}

. Du hast irgendwo einen Fehler drin.
UPDATE. Korrigiert.

JaBaa aktiv_icon

13:49 Uhr, 03.08.2020

Dankeschön für die Hilfe, ich hatte einen dummen Fehler drinn der mich Wahnsinnig gemacht hat und mich schon an meinem geringen mathematischen Wissen hat zweifeln lassen :-)

Dankeschön für die schnelle Antwort

1510203

1510195

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?