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Jordan Normalform - Transformationsmatrix finden

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Jordan, Normalform, Transformationsmatrix

daniel7 aktiv_icon

21:37 Uhr, 03.07.2015

Hallo,
ich versuche für die Matrix

B = (\begin{matrix} 2 & - 3 & 3 \\ 3 & - 3 & 2 \\ 3 & - 2 & 1 \end{matrix})

von der ich bereits die Jordan Normalform bestimmt habe

J = (\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

eine Transformationsmatrix

T

zu finden, sodass

B = T \cdot J \cdot T^{- 1}

gilt.

Bisher bin ich immer so vorgegangen, dass ich solange
dim Kern((

B - λ \cdot E)^{l})

bestimme, bis sich die Dimension des Kerns nicht mehr ändert (für

l \in ℕ {0})

.

Wenn ich dieses

l

gefunden habe ab dem dies der Fall ist suche ich mir einen Vektor der im Eigenraum der

l

-ten Stufe liegt, jedoch nicht im Eigenraum der

l - 1

-ten Stufe und bezeichne diesen als

v_{3}

(welcher dann einer meiner Basisvektoren für die Transformationsmatrix ist).
Dann bestimme ich

v_{2}

durch

v_{2} = (B - λ \cdot E) v_{3}

und

v_{1} = (B - λ \cdot E) v_{2}

.

Meine Transformationsmatrix

T

ist dann durch

(v_{1}, v_{2}, v_{3})

gegeben.

In dem Beispiel der Matrix

B

funktionert mein Vorgehen jedoch nicht mehr, da sich dim Kern(

B - λ \cdot E)

nicht ändert. (Hab ich bis zur

l =

7ten Potenz berechnet und da es eine Übungsaufgabe ist denke ich, dass normalerweise bei

l = 3

Schluss sein sollte)

Ich vermute, dass das nicht funktioniert, da ich mehrere Eigenwerte habe (bisher habe ich nur mit Matrizen gerechnet die einen EW haben).
Für diese

B

Matrix wären die EW

- 1

(doppelt) und 2.

Kann mir bitte jemand sagen was ich an dem Verfahren ändern muss, dass es wieder passt bzw. was ich allgemein im Fall mehrerer EW machen muss?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

22:02 Uhr, 03.07.2015

Hallo,

arbeite das Verfahren für JEDEN Eigenwert nacheinander ab.
Bedenke, dass für den Eigenwert 1 nur EIN Basisvektor gebraucht wird (wenn denn die angegebene Lösung stimmt). (Nie mehr als die algebraische Vielfachheit!)

Je nachdem, wie du die Basisvektoren anordnest, ändert sich die Reihenfolge der Jordanblöcke! (Was dazu führen kann, dass deine Jordansche Normalform sich von der angegebenen unterscheidet!)

Mfg Michael

daniel7 aktiv_icon

23:00 Uhr, 03.07.2015

Ok, für meinen Eigenwert 2 ist der Eigenraum immer gleich, also nehme ich dafür den Eigenvektor und setze diesen in die Transformationsmatrix. In die zum Eigenwert gehörige Spalte.

(Kurzer Check mit Wolfram Alpa verrät, dass das so passen würde)

Was mir jedoch noch nicht ganz klar ist, ist warum ich den Vektor aus dem Eigenraum als

v_{n}

definiere. Wobei

n

jetzt die Anzahl der gesuchten Vektoren ist und ich mich dann durch die Multiplikation

(B - λ \cdot E) v_{n} = v_{n - 1}

nach unten hangel und die entstandenen Vektoren aufsteigend in die Transformationsmatrix schreibe.

Das Verfahren funktioniert jetzt jedenfalls und ich habe meine Transformationsmatrix gefunden. Dafür schon mal Danke! Jetzt muss noch das Verständnis her :-)

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