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Jordan Normalform berechnen/ Transformationsmatrix

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Matrizenrechnung

Tags: Determinant, Eigenwert, Linear Abbildung, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung

Hinata aktiv_icon

23:04 Uhr, 25.12.2022

Hallo,
Ich möchte die Transformatrionsmatrix

S

zu folgender Matrix A berechnen, sodass

S^{- 1} \cdot A \cdot S

eine Jordan-Normalform ergibt, aber irgendwo habe ich einen Fehler drin und komme nicht drauf wo.. Ich muss zugeben, dass ich das Prinzip auch noch nicht ganz verstanden habe. Ich verstehe nicht genau warum der Algorithmus so funktioniert, also warum eine Jordan NF rauskommt.

A = (\begin{matrix} 1 3 2 0 \\ 0 1 2 0 \\ 0 0 1 0 \\ 2 0 0 2 \end{matrix})

Zuerst habe ich

X_{A} = {(1 - T)}^{3} (2 - T)

berechnet.
Dann habe ich ker( A-1I)

= < (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix}) >

und
ker((A-1I)^2)

= < (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) >

und
ker((A-1I)^3)

= < (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ - 4 \end{matrix}) >

berechnet. Für die Transformationsmatrix wähle ich einen Vektor aus ker((A-1I)^3) ohne ker((A-1I)^2) also bspw

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ - 4 \end{matrix}) = v_{1}

Nun bilde ich damit Jordanketten also (A-1I)*

v_{1} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \\ - 4 \end{matrix}) = v_{2}

und (A-1I)*v_2=

(\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Für den Eigenwert 2 gilt ker(A-2I)=<

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) >

Damit sollte sich

S = (\begin{matrix} 6 2 0 0 \\ 0 2 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ 0 - 4 - 4 1 \end{matrix})

herauskommen, tut es aber nicht. Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

walbus aktiv_icon

07:18 Uhr, 26.12.2022

vgL:
jp-g.de/Skripte/Jordan-Normalform.pdf

Hinata aktiv_icon

10:23 Uhr, 26.12.2022

Die Seite kenne ich und habe auch genauso gerechnet wie dort, glaube ich zumindest. Kann meinen Fehler aber trotzdem nicht finden

Hinata aktiv_icon

10:35 Uhr, 26.12.2022

Die Frage hat sich nun erledigt. Ich habe gemerkt, dass ich einfach schon einen Fehler beim charakteristischen Polynom gemacht habe. Danke

michaL aktiv_icon

17:47 Uhr, 27.12.2022

Hallo,

eigenartig. Da kann man doch eigentlich gar keine Fehler machen, da die Determinante prima mal nach einer Spalte und sonst nach Zeilen entwickelt werden kann?! Das Polynom stimmt doch auch.
Merkwürdig.

Ich erhalte:

\ker (A - E) = span 〈 (\begin{array}{r} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}) 〉

\ker (A - E) = span 〈 (\begin{array}{r} 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}), (\begin{array}{r} 3 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) 〉

\ker (A - E) = span 〈 (\begin{array}{r} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}), (\begin{array}{r} - 8 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}), (\begin{array}{r} - 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) 〉

Damit würde man die Kette mit

v := (\begin{array}{r} - 8 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})

beginnen, was zu

(A - E) v = (\begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 0 \\ - 16 \end{array})

und

(A - E)^{2} v = (\begin{array}{r} 6 \\ 0 \\ 0 \\ - 12 \end{array})

führt.

Einen Eigenvektor für den Eigenwert 2 sieht man leicht (wie ich finde).

Demnach hätte man als Jordanbasis folgende:

B_{Jordan} = ((\begin{array}{r} 6 \\ 0 \\ 0 \\ - 12 \end{array}), (\begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 0 \\ - 16 \end{array}), (\begin{array}{r} - 8 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}), (\begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}))

Mfg Michael

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