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Jordan Nullmenge, Jordan Maß

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Jordan-Nullmenge

simon89 aktiv_icon

10:38 Uhr, 20.06.2010

Ich soll zeigen, dass $I = [0, 1] \cap Q$ keine Jordan Nullmenge ist.

So also ich hab hier erstmal die Definition von Jordan Nullmenge, sie sagt ja aus, dass Sei $B \subset R^{n}$ eine Jordan-Nullmenge und zu jedem $ϵ > 0$ gibt es eine endliche Anzahl kompakter Intervalle $I_{1}, ... I_{m}$ dann gilt

$B \subset \cup_{j = 1}^{m} I_{j}$ $\sum_{j = 1}^{m} | I_{j} | < ϵ$

Jetzt zu meiner Aufgabe also kompakt wären die Intervalle ja aber endlich nicht. Wäre das schon die Lösung wenn ja wie kann ich das denn etwas schöner aufschreiben.

Kann mir auch jemand nocheinmal kurz sagen wo der UNterschied, Zusammenhang zwischen Jordan-Nullmenge,Jordan-Maß ist. Dankeschöön

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

23:06 Uhr, 20.06.2010

Das Jordan-Maß (genauer: Jordan-Inhalt, denn es fehlt die

σ -

Additivität,die es etwa beim Lebesgue-Maß gibt) ordnet einigen sozusagen nicht allzu chaotischen Teilmengen des

ℝ^{n}

einen Inhalt zu. Eine Jordan-Nullmenge ist eine Menge mit Jordan-Maß 0.
Einführend sieh auch de.wikipedia.org/wiki/Jordan-Ma%C3%9F

Wäre

I

eine Nullmenge, so gäbe es zu jedem

ε > 0

eine überdeckung durch endlich viele offene Intervalle der Gesamtlänge

\leq ε

.
Angenpmmen, es gäbe so eine Überdeckung zu

ε = \frac{1}{2}

durch

m

offene Intervalle

I_{1} =] a_{1}, b_{1} [, ..., I_{m} =] a_{m}, b_{m} [

mit

a_{k} < b_{k}

OBdA. sei

a_{1} \leq a_{2} \leq . .

\leq a_{m}

und

m

sei minimal mit der Eigenschaft, dass solche Intervalle existieren.
Dann folgt

b_{k} \leq a_{j}

für

1 \leq k < j \leq m,

denn sonst könnte man

I_{k}

und

I_{j}

duch

] a_{k}, b_{j} [

ersetzen (und dabei den Inhalt der Überdeckung verkleinern) im Widerspruch zur Minimalität von

m

.
Wäre

b_{k} < a_{k + 1}

für ein

k, 1 \leq k < m,

so würde eine wegen de Dichte von

ℚ

existente rationale Zahl

q \in] b_{k}, a_{k + 1} [

nicht überdeckt: Für

j \leq k

ist

b_{j} < k,

für

j > k

ist

a_{j} > q

.
Somit

b_{k} = a_{k + 1}

und der Inhalt der Überdeckung ist

(b_{1} - a_{1}) + (b_{2} - a_{2}) + . .

+ (b_{m} - a_{m}) = (a_{2} - a_{1}) + (a_{3} - a_{2}) + . .

+ (b_{m} - a_{m}) = b_{m} - a_{1}

.
Da sowohl 0 als auch 1 überdeckt werden, folgt

a_{1} \leq 0

und

b_{m} \geq 1,

alsoist der INhalt der Übedeckung mindestens 1 und nicht

< ε

simon89 aktiv_icon

11:56 Uhr, 22.06.2010

danke mal wieder :)

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