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Jordansche Normalform einer nilpotenten Matrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Endomorphismus, Jordansche, Matrix, Nilpotent, Normalform

qwertz789 aktiv_icon

09:10 Uhr, 01.07.2015

Guten Morgen,
ich soll eine Jordan-Normalform zu der nilpotenten Matrix

A = (\begin{array}{rcl} - 2 & - 1 & 2 & 3 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 4 & - 4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 4 & - 2 & 0 & 1 \\ - 2 & - 1 & - 1 & 3 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & - 3 & - 2 & 0 \end{array}) \in ℂ^{6, 6}

bestimmen. Dabei soll ich ein

S \in G L_{6} (ℂ)

bestimmen, sodass

S^{- 1} A S

in Jordan-Normalform ist.

Dabei bin ich folgendermaßen vorgegangen:
Die Matrix hat den Nilpotenzindex 3, also habe ich den Kern von

A, A^{2} u n d A^{3}

berechnet. Dann habe ich

d_{1}, d_{2}

und

d_{3}

berechnet, wobei

d_{1} = d i m (K e r n (A)) - d i m (K e r n (A^{0})) = 3 - 0 = 3

d_{2} = d i m (K e r n (A^{2})) - d i m (K e r n (A)) = 5 - 3 = 2

d_{3} = d i m (K e r n (A^{3})) - d i m (K e r n (A^{2})) = 6 - 5 = 1

.

Mittels Young-Diagramm habe ich die duale Partition

(n_{1}, n_{2}, n_{3})

(d_{1}, d_{2}, d_{3})

bestimmt und ebenfalls

(3, 2, 1)

erhalten. Die Jordan-Normalform besteht also aus 3 Blöcken der Größen 3,2 und 1.
Nun habe ich eine Jordan-Kette

(v_{1}, v_{2}, v_{3})

der Länge 3 zum Eigenwert 0 berechnet, indem ich mir einen Vektor

v_{3} \in A^{3} \ A^{2}

genommen und dann

v_{2} = A v_{3}

und

v_{1} = A v_{2}

berechnet habe.
Zu

n_{2}

habe ich eine Jordan-Kette

(w_{1}, w_{2})

auf gleicher Weise bestimmt, wobei

(v_{2}, w_{2})

linwar unabhängig modulo

K e r n (A)

sein soll, d.h. es muss eine Komplementärbasis zu

K e r n (A^{2})

K e r n (A)

sein bzw. äquivalent dazu, mit

λ, μ \in ℂ

gilt:

λ v_{2} + μ w_{2} \in K e r n (A^{2}) \Rightarrow λ = μ = 0 .

Nun zu meiner Frage: Ich habe die Vektoren

(v_{1}, v_{2}, v_{3}, w_{1}, w_{2})

bestimmt, aber wie bestimme ich den letzten Vektor? Was für eine Bedingung muss da gelten?

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

DrBoogie aktiv_icon

07:44 Uhr, 02.07.2015

Der letzte Vektor ist doch einfach der Eigenvektor (sozusagen, der "übrige" Eigenvektor, der linear unabhängig von zwei anderen ist, welche Du in den Ketten hast).

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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