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K- lineare Abbildung, Isomorphismus

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Tags: Isomorphismus, Lineare Abbildungen, Vektorraum

Luubi aktiv_icon

17:24 Uhr, 30.11.2014

Halloo,

ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Sei

L : M a t (m x n, K) \to M a p (K^{n}, K^{m})

definiert durch

A \mapsto (x \mapsto A x) .

Man zeige:
1. Für jedes

A \in M a t (m x n, K)

ist L(A) eine K-lineare Abbildung.
1.

L : M a t (m x n, K) \to H o m_{K} (K^{n}, K^{m})

ist ein Isomorphismus von K-Vektorräumen.

Bin noch bei Teil 1. weiß da aber nicht wirklich wie ich vorgehen soll.
Laut Vorlesung muss ich für die K- Linearität folgendes nachprüfen:
(L1) L ist Gruppenhomomorphismus von

L : M a t (m x n, K)

nach

M a p (K^{n}, K^{m})

.
(L2)

\forall k \in K, A \in M a t (m x n, K) : f (k A = k (f (A)) .

und ein Gruppenhomomorphismus ist bei uns folgendermaßen definiert:

Seien (A,.) und (B,*) Gruppen. Die Abbildung

f : A \to B

heißt Gruppenhomomorphismus falls,

\forall A, A ʹ \in M a t (m x n, K) : f (A . A ʹ) = f (A) * f (A ʹ)

Ich weiß nicht mit welchen zwei Verknüpfungen ich arbeiten muss, deshalb hab ich leider noch keinen Ansatz.
Ich würd mich freuen, falls mir jemand ein paar Tipps geben kann.

lG
Luubi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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17:58 Uhr, 30.11.2014

Verknüpfung bei den Matrizen - Multiplikation.
Verknüpfung bei den Abbildungen - Komposition (also nacheinander ausführen).

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18:21 Uhr, 30.11.2014

Dankeschönn,

wäre dass dann so richtig:

f (A) \circ f (A ʹ) = (x \mapsto A x) \circ (x ʹ \mapsto A x ʹ) = (x \mapsto A (x ʹ \mapsto A x ʹ)) = x \mapsto A (A ʹ) = f (A A ʹ)

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19:16 Uhr, 30.11.2014

Du schreibst es zu kompliziert auf.
Einfach

f (A \cdot B) (x) = (f (A) \circ f (B)) (x) = f (A) (f (B) (x))

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19:30 Uhr, 30.11.2014

würde dass denn schon als Beweis reichen? Die Funktionsvorschrift habe ich ja so garnicht benutzt. Steht da jetzt nicht nur die allgemeine Regel, von der ich beweisen soll, dass sie in diesem Fall gilt?
Tut mir leid für die vielen Nachfragen, bin im Beweisen noch nicht so gut, kann schlecht einschätzen, wie genau man das denn machen muss.

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19:43 Uhr, 30.11.2014

"Steht da jetzt nicht nur die allgemeine Regel, von der ich beweisen soll, dass sie in diesem Fall gilt?"

Diese Regel ist nicht allgemein, aber auch kein Beweis.
Also muss man sie noch beweisen. Das ist mühsam, deshalb finde ich dies als Hausaufgabe unmöglich, normalerweise wird das in der Vorlesung bewiesen.
Aber Du kannst im Netz genug Skripte finden, wo diese Aussage steht.
Z.B. Satz 3.8.13 hier:
http//www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-WS05/material/matrixdarstellung.pdf

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20:00 Uhr, 30.11.2014

hmm, dann muss ich das wohl anders machen, ich habe im Skript noch diese Bemerkung gefunden:

V, W : K - V e k t o r r ä u m e, f \in M a p (V, W)

, f ist K-Linear, wenn

\forall k, l \in K, A, A \in V

f (k A + l A ʹ) = k f (A) + l f (A ʹ)

reicht es für die Aufgabe also aus das zu beweisen? und wenn ja genügt das als Beweis:

f (k A + l A ʹ) = f (k A) + f (l A ʹ) = k (f (A)) + l (f (A ʹ))

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20:09 Uhr, 30.11.2014

Das ist definitiv kein Beweis. Zuerst mal ist es nur Linearität und für den Isomorphismus braucht man auch Bijektion zu zeigen. Und zum anderen ist auch Linearität damit nicht bewiesen, das ist doch nur die allgemeine Definition.

"noch diese Bemerkung gefunden"

Und das ist keine Bemerkung, das ist Definition.

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20:15 Uhr, 30.11.2014

Tut mir leid, ich habe mich ein bisschen unklar ausgedrückt. Ich meinte nicht die Lösung der ganzen Aufgabe, sondern nur für den erste Teilaufgabe.
Dass ich für einen Isomorphismus nachweisen muss, dass f bijektiv ist weiß ich, wie ich das machen kann ist mir noch nicht ganz klar.

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20:22 Uhr, 30.11.2014

Auch für die erste Aufgabe muss man irgendwie argumentieren und nicht einfach Definition ausschreiben.

Luubi aktiv_icon

20:28 Uhr, 30.11.2014

wie ist es, wenn ich es mit den Rechenrenregeln für Matrizen begründe, die ich im Skript stehen habe? zB:

A(B+B')=AB+AB' und A(rB)=r(AB)

oder soll ich das ganze ausschreiben und überall die Funktion einsetzen?

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21:01 Uhr, 30.11.2014

Diese Regeln haben nichts mit Linearität zu tun.
Du braucht nur die Regel

(a A + b B) v = a A v + b B v

, wo

a, b

-Zahlen,

A, B

-MAtrizen und

v

- Vektor.

Luubi aktiv_icon

21:31 Uhr, 30.11.2014

okayy vielen Dank!

zum zweiten Teil. Ich muss nachweisen, dass

x \mapsto A x

bijektiv ist. Hab im Internet mehrere Beweise gefunden, den Sinn dieser Übungsaufgabe hab ich dadurch zwar verstanden, aber ich verstehe die Beweise nicht ganz bzw kann sie nicht so gut auf das übertragen, was ich bis jetzt gelernt hab

also ich habe bis jetzt:

Man betrachte die Standardbasisvektoren

e_{1}, . . ., e_{n} \in K^{n}

damit kann man jedes

x \in K^{n}

eindeutig darstellen:

x = x_{1} e_{1} + . . . + x_{n} e_{n}

wegen der Linearität von L gilt:

L (x) = \sum_{j = 1}^{n} x_{i} L (e_{i}) = (L (e_{1}) . . . L (e_{n})) (\begin{array}{rcl} x_{1} \\ . . . \\ x_{n} \end{array}) = A x

dabei ist

A \in M a t (m x n, K)

die Matrix deren j-te Spalte

L (e_{j})

ist

1202169

1202105

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