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KKT Bedingungen angeben + Lösung verifizieren

Universität / Fachhochschule

Tags: KKT Bedingungen, Optimierung, Zulässiger Punkt

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21:15 Uhr, 17.07.2023

Hallo zusammen, ich rechne momentan die Teilaufgabe einer Altklausur zum Thema Optimierung, KKT-Bedingungen

Es soll überprüft werden, ob die Lösung aus der vorherigen Aufgabe ein zulässiger KKT Punkt ist.

Vorherige Lösung ist f(x,y)=Min.

- \to f (5,5)

g 1

inaktiv
NB

g 2

inaktiv
NB

g 3

aktiv

(y \leq 10 - x) - \to

hierfür die KKT Bedingungen prüfen mit der entsprechenden Lösung.

1)

Lagrange Multiplikatorregel:

δ f (x, y) +

µ3

\cdot δ g 3 (x, y) = 0

(Die Partiellen Ableitung von

f (x, y)

und der Nebenbedingung

g 3

In Vektorschreibweise erhält man das Ergebnis (mit der Lösung für

f (5,5)) :

(- 4, - 4) +

µ3

\cdot (1,1) = (0,0)

Man erhält also µ3

= 4

.

Ist die Lösung µ3

= 4

für ein KKT Punkt?

Stationaritätsbedingung:

δ f (5,5) +

µ3

\cdot δ g 3 (x, y) = (0,0)

= (- 4, - 4) + 4 \cdot (1,1) = (0,0)

= (- 4, - 4) + (4,4) = 0 \to 0 = 0

Bedingung erfüllt

Nicht-Negativitätsbedingungen
- ergeben sich aus den NB die aktiv bzw. inaktiv sind (?)

\to

µ1=

0,

µ2=0, µ3=4

\to

Bedingung erfüllt-

Komplementaritätsbedingungen

µ1

\cdot g 1 (x, y) = 0 \cdot (y - 4 x) = 0 \to 0 = 0

µ2

\cdot g 2 (x, y) = 0 \cdot y = 0 \to 0 = 0

µ3

\cdot g 3 (x, y) = 4 \cdot (y - (10 - x) = 0 \to

hier den Punkt

(5,5)

einsetzen, da aktive NB (?)

\to 4 \cdot (5 - (10 - 5) = 0

\to 4 \cdot (5 - 5) \to 4 \cdot 0 = 0 \to 0 = 0

Bedingung erfüllt.

Alle drei Bedingungen erfüllt - Lösung ist ein zulässiger KKT Punkt.

**In der schriftlichen Rechnung auf Papier sind mir wohl Rechenfehler eingeschlichen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

12:26 Uhr, 21.07.2023

Der Scan rechts erinnert mich an das wunderschöne Tafelbild aus "A Serious Man". :-)

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