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Kantenwinkel einer Pyramide

Schüler Berufsfachschulen, 9. Klassenstufe

Tags: Kantenwinkel, Pyramide

klaus454 aktiv_icon

17:53 Uhr, 28.05.2009

Hallo,
folgende Problemstellung habe ich zu lösen und komme nicht weiter:

Ich habe eine Plexiglas-Pyramide gebaut. Quadratische Grundfläche 40cm x 40cm. Höhe 50cm.

Nun möchte ich auf die 4 Kanten, die zur Spitze zulaufen, ein Metallstreifen herumbiegen, so dass die Pyramite eben Metallkanten erhält.

Aber welchen Winkel muß man diese Bleche biegen, damit sie genau aufliegen?

Ich bräuchte also den Kantenwinkel von zwei Mantelflächen.

Hat vielleicht jemand einen Ansatz für eine Formel?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

Astor aktiv_icon

18:19 Uhr, 28.05.2009

Hallo,
zeichne dir die Pyramide auf.
Vom Mittelpunkt M des Bodens zum Eckpunkt A und dann zur Spitze S erhält man ein rechtwinkliges Dreieck mit der Seite h, der halben Diagonalen und der Kante.
Gesucht ist der Winkel zwischen der Diagonalen und der Kante.
Die Diagonale hat die Länge

\sqrt{2} * 40

Also

t a n α = \frac{h}{\sqrt{2} * 40}

Gruß Astor

klaus454 aktiv_icon

18:28 Uhr, 28.05.2009

Danke für Deine Hilfe.

Ich denke aber, dass Du einen anderen Winkel meinst. Ich habe mir das so mal aufgezeichnet. Und denke Du meinst den Winkel am Boden der Pyramide zur Kante, die nach oben geht.

Ich meine aber den Winkel auf der Kante, die nach oben geht in Bezug zu zwei von den Außenseiten der Pyramide.

Also ich bin der Meinung, ich brauche erst einmal den Neigungswinkel der Außenflächen (was bei einer quadratische Pyramide ja immer gleich ist).

Dann brauche ich den Winkel, den die Kante zur Grundfläche hat. Was Du wohl meinst.

Und aus diesen Werten muß doch was machbar sein.

Zeus11 aktiv_icon

18:35 Uhr, 28.05.2009

Du meinst denke ich die winkel der seitenflächen zu einander, oder?

klaus454 aktiv_icon

18:38 Uhr, 28.05.2009

Überlegung:

Wenn die Pyramide fast gleich 0 hoch ist, ist der gesuchte Winkel fast 180 Grad.

Wenn sie unendlich hoch wäre, wäre der gesuchte Winkel 90 Grad.

klaus454 aktiv_icon

18:38 Uhr, 28.05.2009

@zeus: JA

Zeus11 aktiv_icon

18:40 Uhr, 28.05.2009

Ich kanns dir genau ausrechnen(über vektoren)
musst nur ein bisschen warten

welche winkel brauchst du denn?
Nur Grundfläche zur seiten fläche?
oder auch seitenfläche zu seitenfläche?

Ich denk mal du brauchst keinen rechenweg oder?

klaus454 aktiv_icon

18:44 Uhr, 28.05.2009

ich brauche nur den Winkel Seitenfläche zu Seitenfläche.

Danke für Deine Hilfe!!!

Womit rechnest Du das?

Kannst Du die Formel(n) dafür posten, oder hast Du da Programm für?

Zeus11 aktiv_icon

18:58 Uhr, 28.05.2009

ich rechne das mit vektoren,wird bestimmt auch andere wege geben, aber die kenne ich nicht.
ne formel gibvt es aber dazu sind ein paar grundkenntnisse bei vektoren rechnung von nöten.
Ich habe einen für den winkel von 2 benachberten seiten flächen das raus: alpha=82,071858°

klaus454 aktiv_icon

18:59 Uhr, 28.05.2009

82 Grad kann aber nicht sein.

Der Winkel muß bei einer real existierenden Pyramide zwischen 90 und 180 Grad liegen.

klaus454 aktiv_icon

19:02 Uhr, 28.05.2009

OK. Wenn es der innenwinkel ist, was es natürlich wohl ist, ist das doch schon richtig.

Ähm. Quatsch. Gar nicht. Der Innenwinkel muß ja eben zwischen 90 und 180 liegen.

Zeus11 aktiv_icon

19:04 Uhr, 28.05.2009

Warum muss er zwischen

90

und

180

liegen?
bei einer quadratischen pyramide müssen die winkel der seiten flächen kleiner als 90° sein

klaus454 aktiv_icon

19:07 Uhr, 28.05.2009

Stelle Dir eine Pyramide vor, die ganz flach ist. Du knickst über eine kante ein Stück Papier. Das wird auch fast flach sein.

Ist die Pyramide schon fast ein Würfel, weil sie so hoch ist, ist doch der Winkel des umgeknickten Papiers immernoch etwas über 90 Grad.

Zeus11 aktiv_icon

19:16 Uhr, 28.05.2009

naj die alternative zu dem winkel wäre:

α = 97,928142

webnn sich 2 linien schneiden dann haben si ja auch immer einen großen und einen kleinen winkel(außer bei 0°,90°,180°,...)

das gleiche gibt es ja auch bei flächen.
und

α = 97,928142

ist der grö0ere winkel

bin davon ausgegangen dass der winkel kleiner als

90

sein muss.
aber du hast recht mit deinem

90 < α < 180

klaus454 aktiv_icon

19:32 Uhr, 28.05.2009

OK. Vielen Dank.
Die Größenornung kommt jedenfalls hin.

Ich messe das morgen mal aus und vergleiche.

Wenn Du Formeln parat hättest, mit denen Du jetzt aufs Ergebnis gekommen bist, wäre auch klasse. Es sei denn, es ist so aufwändig, das Du jetzt ewigkeiten tippen müßtest.

meder aktiv_icon

19:46 Uhr, 28.05.2009

Der gesuchte Winkel, in dem Deine Pyramidenflächen zueinanderstehen, müsste 98° sein.

Eine Formel kann ich Dir leider nicht anbieten, aber eine Excel-Tabelle; ich weiß aber nicht wie ich die im Forum rüberbringen kann (bin halt blutiger Anfänger).

Wenn Du etwas Zeit und dann noch Interesse hast könnte ich mit einer zeichnerischen Lösung dienen.

klaus454 aktiv_icon

19:49 Uhr, 28.05.2009

@meder:
Danke ! Ja, der Winkel ist ca. 98 Grad.

Über eine Exel-Tabelle würde ich mich riesig freuen.

Wenn du sie an gizzel at arcor.de schicken könntest? (at natülich als klammeraffen)

Vielen Dank allen nochmal für Eure Hilfe !!!

Zeus11 aktiv_icon

20:01 Uhr, 28.05.2009

man überträgt die Pyramide in ein koord#inaten system.
statts

40 x 40

und

h = 50

kann man auch

4 x 4

und 5 nehmen

\vec{a} (0 | 0 | 0)

\vec{b} (4 | 0 | 0)

\vec{c} (4 | 4 | 0)

\vec{d} (0 | 4 | 0)

\vec{s} (2 | 2 | 5)

das sind die vek die auf die ecken zeigen.

als seiten fläche kann man

z . b

die beiden nehmen: 1 betshet aus den ecken

A B

und

S

die 2 Aus

A D

und

S

man stellt nun 2 ebenen auf

E_{1} : \vec{x} = r \cdot \vec{s} + u \cdot \vec{d}

E_{2} : \vec{x} = r \cdot \vec{s} + u \cdot \vec{b}

Nun braucht man den normal vector

\vec{n}

für die jeweilige ebene
der normal vector steht senkrecht auf der eben

\to \vec{s} \cdot \vec{n} = 0

\to \vec{d} \cdot \vec{n} = 0

\to 2 n_{1} + 2 n_{2} + 5 n_{3} = 0

\to 4 n_{2} = 0

jetzt gibt es unendelich viele lösungen. also einfach irgendwas für

n_{1}

oder

n_{3}

einsetzten und dann den

\vec{n}

austellen und kürzen

\to \vec{n} = (- 5 | 0 | 2)

das gleiche für die 2 ebene machen.

\to \vec{n} = (0 | - 5 | 2)

jetzt zum winkel:

α = {cos}^{- 1} (\frac{\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}}{| \vec{n_{1}} | \cdot | \vec{n_{2}} |})

im winkelmaß nicht im bogenmaß.

klaus454 aktiv_icon

20:49 Uhr, 28.05.2009

Oh ha.
Vielen Dank.

Aber damit kann ich dann doch nichts wirklich anfangen. Ist mir zu hoch.

Verstehe schon das mit den Koordinaten, aber wüßte nicht, wie man so etwas in den Taschenrechner bekommt. :-)

Aber danke trotzdem für die Mühe.

Habe ähnliche Problemstellung auf wer-weiß-was gefunden, wo es ohne Vector-Berechnung gemacht wird. Müßte man für meinen Fall nur das Teilen durch 2 zum Schluß weglassen. Link: www.wer-weiss-was.de/app/archive/show/2163843

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