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Kantors Diagonalargument, unendliche Mengen
Universität / Fachhochschule
Elementare Zahlentheorie
Tags: Elementare Zahlentheorie Mengentheorie
 
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Guten Tag, Ich komme heute mit einem etwas ketzerischen Thema, bei dem für mich einige Fragen offen sind, und wollte mal hören, was es für antworten darauf gibt. Es geht um Mächtigkeit von unendlichen Mengen und die Frage, warum dieser Begriff überhaupt eingeführt wurde, so wie er ist. 2 Mengen werden als gleichmächtig betrachtet, wenn es eine bijektive abbildung zwischen Ihnen gibt. soweit so gut und im endlichen kein Unterschied zur intuitiven vorstellung von der Bedeutung, wann Mengen gleichviele Elemente haben. aber sobald es ins unendliche geht, weicht dieser Begriff von der intuition ab, denn . ist gleichmächtig mit aber es sind ganz klar nicht gleichviele elemente in wie in denn ist nicht leer. Dieser Widerspruch löst sich auf, wenn man mit den Elementen von Gegenstände( Autos, Blumen,...)identifiziert, denn dann kann man nicht mehr als Teilmenge betrachten. Und dann könnte man leicht folgern gleichmächtig wäre äquivalent zu gleichviel. Diese Menge hätte gleichviele Elemente wie und wie hat aber mehr elemente als N. Das macht keinen Sinn! Nun zur Abzählbarkeit. Laut Kantor ist abzählbar. aber nicht. Wie macht das Sinn, wenn dicht in liegt? zwischen je zwei rationalen zahlen befinden sich unendlich irrationale und umgekehrt. warum kann man nicht daraus folgen, dass es gleichviele rationale zahlen, wie irrationale gibt? Oder gibt es gleichviele, nur die Mächtigkeit ist unterschiedlich? wenn dem so ist, warum misst man diesem Mächtigkeitsbegriff soviel bei? Und ist es überhaupt möglich, einen Begriff von Mächtigkeit zu definieren, der auch im unendlichen unserer Intuition entspricht, das etwas gleichmächtig ist, wenn es gleichviele elemente hat? Oder macht es im unendlichen keinen Sinn überhaupt Mengen auf Anzahl zu überprüfen? Das sind nur ein paar Gedankengänge und Ich hoffe zu lernen. Was denkt Ihr, sollte man einfach gleichviel und gleichmächtig als zwei verschiedene Begriffe ansehen und sich damit abfinden, dass es nicht das gleiche ist? Wie sieht es aus mit dem Argument der Dichte von was gibt es da für Antworten? Ich freue mich über aufschlussreiche und/oder anregende Antworten. LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Ich dazu mal eine KI befragt. Hier die Antwort: 1. Warum wurde der Begriff der Mächtigkeit eingeführt, wie er ist? Der Begriff der Mächtigkeit von Mengen wurde ursprünglich eingeführt, um den Vergleich der "Größe" von Mengen auf eine systematische und präzise Weise zu ermöglichen, und zwar unabhängig davon, ob die Mengen endlich oder unendlich sind. Die grundlegende Idee, dass zwei Mengen gleich viele Elemente enthalten, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt, ist eine Erweiterung der klassischen Vorstellung von „gleich viele Elemente“ für endliche Mengen. Warum wurde dieser Begriff für unendliche Mengen eingeführt? Wenn wir mit unendlichen Mengen arbeiten, treffen wir auf Phänomene, die der intuitiven Vorstellung von "Anzahl" widersprechen. Zum Beispiel, wie du es richtig anmerkst, gibt es eine bijektive Abbildung zwischen den natürlichen Zahlen und den rationalen Zahlen obwohl auf den ersten Blick "größer" erscheinen könnte, da es dichter in liegt und unendlich viele Elemente zwischen je zwei rationalen Zahlen liegen. Der Begriff der Mächtigkeit hilft dabei, eine mathematisch präzise Art und Weise zu definieren, wie man solche Mengen miteinander vergleicht, selbst wenn sie unendlich sind. Ohne den Begriff der Bijektivität könnten wir keine verlässliche Grundlage dafür haben, wie unendliche Mengen verglichen werden, weil die Intuition über unendliche Mengen einfach nicht so funktioniert wie bei endlichen Mengen. 2. Widerspruch: Warum ist gleichmächtig zu obwohl Q−N nicht leer ist? Das ist ein sehr wichtiger Punkt, und du hast vollkommen recht, dass dies zunächst kontraintuitiv erscheint. Die Menge der rationalen Zahlen ist tatsächlich abzählbar unendlich, genauso wie die Menge der natürlichen Zahlen N. Das bedeutet jedoch nicht, dass die beiden Mengen in irgendeiner anderen Weise „gleich“ sind, sondern nur, dass es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt. Das bedeutet, dass es eine Methode gibt, jedes Element der natürlichen Zahlen mit einem einzigartigen Element der rationalen Zahlen in eine Eins-zu-eins-Beziehung zu setzen, ohne dass eines der Elemente übrig bleibt. Q−N ist nicht leer, aber das ist kein Widerspruch. Bei einer bijektiven Abbildung geht es darum, die Mengen so umzuordnen, dass jedes Element der einen Menge genau einem Element der anderen Menge zugeordnet wird, unabhängig davon, ob es in der einen Menge "mehr" Elemente gibt als in der anderen. 3. Abzählbarkeit und Dichte von Dass dicht in liegt, bedeutet, dass zwischen jedem Paar reeller Zahlen immer rationale Zahlen existieren. Aber das bedeutet nicht, dass die Anzahl der rationalen Zahlen die gleiche ist wie die der irrationalen Zahlen. Abzählbarkeit: Eine Menge wird als abzählbar bezeichnet, wenn ihre Elemente in eine Eins-zu-eins-Beziehung mit den natürlichen Zahlen gebracht werden können. ist abzählbar, weil es eine bijektive Abbildung zu gibt. Unabzählbarkeit: Die Menge der reellen Zahlen ist jedoch unabzählbar. Das bedeutet, dass es keine bijektive Abbildung von zu gibt, weil die reellen Zahlen viel „größer“ sind als die natürlichen Zahlen, auch wenn dicht in liegt. Der Zusammenhang zwischen und Auch wenn zwischen jedem Paar von rationalen Zahlen unendlich viele irrationale Zahlen liegen und umgekehrt, bedeutet dies nicht, dass die Mächtigkeit der beiden Mengen gleich ist. Die reellen Zahlen haben eine größere Mächtigkeit als was man durch das Kontinuum (die Kardinalität von ausdrücken kann. Die Mächtigkeit von ist abzählbar (Kardinalität ℵ0ℵ0), während die Mächtigkeit von unabzählbar ist und eine höhere Kardinalität hat, die oft mit bezeichnet wird. 4. Der Begriff der Mächtigkeit im unendlichen Eine der großen Entwicklungen in der Mathematik, vor allem durch Cantor, war die Erweiterung des Begriffs der Mächtigkeit auf unendliche Mengen. Die Idee, dass unendliche Mengen miteinander verglichen werden können, ohne dass sie einfach „alle gleich unendlich“ sind, war revolutionär. Die Frage, ob es einen Begriff der Mächtigkeit gibt, der der Intuition entspricht, ist sehr tiefgründig. Im unendlichen ist die Zählbarkeit tatsächlich nicht mehr so intuitiv wie bei endlichen Mengen. Der Mächtigkeitsbegriff, den Cantor eingeführt hat, verwendet Bijektivität als präzises mathematisches Kriterium, das eine formale und nützliche Methode bietet, wie man unendliche Mengen vergleichen kann. Aber ja, diese formale Betrachtung weicht von unserer alltäglichen Intuition ab, in der wir „gleich viele Elemente“ als gleichbedeutend mit „identische Anzahl“ verstehen. 5. Fazit: Macht der Begriff der Mächtigkeit im Unendlichen Sinn? Der Begriff der Mächtigkeit macht im Kontext von unendlichen Mengen definitiv Sinn, insbesondere wenn man ihn als eine präzise mathematische Methode zur Beschreibung von Unterschieden in der „Größe“ von unendlichen Mengen betrachtet. Auch wenn diese Idee für uns schwierig zu begreifen ist, hat sie sich als unglaublich nützlich erwiesen, um die Struktur und die Eigenschaften unendlicher Mengen zu verstehen und zu analysieren. Der Begriff der Mächtigkeit ermöglicht es, verschiedene Arten von Unendlichkeit zu unterscheiden – und das hat weitreichende Konsequenzen in der Mathematik, insbesondere in der Mengenlehre, der Analysis und der Topologie. Die Begriffe abzählbar und unabzählbar helfen uns also, die Welt der unendlichen Mengen besser zu strukturieren, auch wenn sie unsere Intuition auf den Kopf stellen. Urteile selbtst! |
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Der Kern des Problems liegt für mich in der Aussage:"Dass dicht in ℝ liegt, bedeutet, dass zwischen jedem Paar reeller Zahlen immer rationale Zahlen existieren. Aber das bedeutet nicht, dass die Anzahl der rationalen Zahlen die gleiche ist wie die der irrationalen Zahlen." warum bedeutet es das nicht? Denn intuitiv würde man sagen, dass gleichviele Elemente enthalten sind. Das bedeutet dass der Begriff der Mächtigkeit im unendlichen Kontraintuitiv ist und auch entgegen der Realität, wenn man sich mal das Banach Tarski Paradoxon oder diverse anderer Widersprüche vor Augen hält. Die Frage ist, ob es überhaupt eine Sinnvolle Definition geben kann, die mit unserer intuition auch im unendlichen konform ist. (Für die also gilt #(A)<#(B), wenn A Teilmenge von ist.) Könnte mir gut vorstellen, dass es garnicht möglich ist. Ich glaub, da kann man ewig weitersinnieren, ohne weiterzukommen... |
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ist abzählbar unendlich, überabzählbar, wie Cantor gezeigt hat. kann man durchnummerieren, nicht. Der berühmte diagonale Beweis von Cantor zeigt, dass selbst wenn man versucht, die reellen Zahlen in einer Liste aufzuzählen, immer noch eine reelle Zahl existiert, die nicht in dieser Liste enthalten ist, wodurch die Annahme einer abzählbaren Aufzählung widerlegt wird. Kannst du dir die Zahl der Atome im Kosmos vorstellen oder die Distanz von nur einem Lichtjahr oder die Plancklänge ? PS: Herr Cantor schreibt sich mit nicht mit K. |
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Das stimmt. Es wird eine Zahl konstruiert, welche noch nicht in der ursprünglichen Liste enthalten ist. Allerdings braucht diese konstruktion unendlich schritte. Nach keinem endlichen Schritt ist so eine Zahl konstruiert, welche nicht in der ursprünglichen Liste ist. Daher kann man auch schliessen, dass es so eine Zahl nicht gibt. Da sie nie erreicht wird. |
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> Könnte mir gut vorstellen, dass es garnicht möglich ist. > Ich glaub, da kann man ewig weitersinnieren, ohne weiterzukommen... So ist es wohl. Du möchtest gern einen Mächtigkeitsbegriff, der #(A)<#(B) für alle echten Teilmengen A von B leistet? Ok, wie man relativ rasch zeigen kann, ist damit Eigenschaft "#(A) = #(B) für bijektiv aufeinander abbildbare Mengen A und B" nicht mehr erfüllbar, was eine sehr nützliche Eigenschaft des herkömmlichen Mächtigkeitsbegriffs ist. Da dieses Instrument wegbricht, stellt sich dann die Frage, wie du die Mächtigkeiten zweier Mengen, welche in keinem Teilmengenverhältnis zueinander stehen, überhaupt vergleichen willst - nach wie vor soll doch die Wertemenge von #() einer totalen Ordnung unterliegen, oder? |
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Vielleicht hilft dir folgendes "Bild" bei der Intuition etwas weiter. Wir betrachten das Einheitsquadrat im Koordinatensystem. Jeder Punkt darin und auf dem Rand lässt sich durch zwei Koordinaten (x|y) beschreiben mit x,y [0|1], wobei wir Dezimalzahlen wählen und für 1 dabei 0,9999... schreiben wollen. Außerdem füllen wir abbrechende Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nullen auf. Jede Koordinate ist somit unendlich lang. Es kommen nur Zahlen von 0,00000... bis 0,99999... vor. Es ist "intuitiv klar", dass es mehr Paare geben muss, als nur x-Werte existieren. So gibt es ja z.B. für (0,5000000...|y) unendlich viele y-Werte, die zu x=0,5 gehören. Ein "Zauberer" kommt vorbei und sagt: Ich verstecke alle Paare in neue, reine z-Werte auf folgende Weise: x und y fangen mit "0," an, z dann auch. Vom Paar (x|y) schreibe ich abwechseln die Nachkomma-Ziffern in z. So wird z.B. aus (0, = (0, z = 0, Auch die Rückverwandlung geschieht ganz einfach, indem du aus z abwechselnd immer die Ziffern auf x und y verteilst. Komisch: Die obige Zahl z (und alle anderen so als z-Zahlen gebildeten) kommen sämtlich nur bei den bisherigen x- (oder y-)Werten vor, es müsste doch dann nach obiger Intuition viel mehr z- als x-Zahlen geben. Alle Paare lassen sich allein in den z- und damit in den x-Werten (an verschiedenen Stellen) wiederfinden, da sie auch nur von 0,000... bis 0,999... gehen. Umgekehrt lassen sich alle z-Werte wieder in die Paare zurückverwandeln. Fazit: Es kann nicht mehr x-y-Paare geben, als es überhaupt x-Werte gibt, obwohl zu jedem x-Wert unendlich viele verschiedene y-Werte gehören. |
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genau |
1589781
1589696