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Kartesisches Produkt zweier Mengen und Mächtigkeit

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Kartesisches Produkt zweier Mengen, Kreuzprodukt, Mächtigkeit

anonymous

12:56 Uhr, 23.10.2010

Hallo,

ich hänge gerade an einer Aufgabe, leider komme ich auch nach ein paar Stunden nicht auf eine Idee.
Die Aufgabe ist folgende:
Sei

M

eine beliebige Menge, zeige:

| M x M | = | M | \Rightarrow | P (M) x P (M) | = | P (M) |

Hat einer einen Tipp?

Vielen Dank,
schorch

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Vektorprodukt

hagman aktiv_icon

16:26 Uhr, 23.10.2010

Angenommen man hat eine Bijektion

M \times M \to M

.
Dann ergibt sich daraus eine Bijektion

P (M \times M) \to P (M)

Ferner ist die Abbildung

P (M) \times P (M) \to P (M \times M)

(A, B) \mapsto {(a, b) \in M \times M | a \in A, b \in B}

injektiv.

anonymous

17:17 Uhr, 23.10.2010

Hallo,

kannst du das eventuell etwas weiter ausholender erklären?
So ganz versteh ich nicht wie du das folgerst und warum dann die Behauptung gelten soll.

Dankeschön und ein schönes Wochenende

schorch

anonymous

13:06 Uhr, 25.10.2010

Hat noch jemand Ideen?

gruß
schorch

teppich aktiv_icon

13:24 Uhr, 25.10.2010

Es gilt

∣ M \times M ∣ = ∣ M ∣ • ∣ M ∣

.

Damit gilt die linke Seite der Implikation nur für

∣ M ∣ = 0

oder

∣ M ∣ = 1

.

Nun bleibt nurnoch die Mächtigkeiten der rechten Seite in beiden Fällen zu betrachten.

anonymous

19:31 Uhr, 26.10.2010

Hallo,

ich bin nun etwas weiter gekommen:

Zu zeigen ist ja |P(M)xP(M)|

= | P (M) |

Also zu zeigen:
1. Es gibt eine Injektion I

: P (M) x P (M) \to P (M)

2. Es gibt eine Injektion I'

: P (M) \to P (M) x P (M)

2. ist recht einfach:

f (x) = (x, {})

1. das ist die Frage, gibt es Ideen? Vermutlich kann ich die Voraussetzung |MxM|=|M| irgendwie sinnvoll nutzen...

gruß, schorch

teppich aktiv_icon

20:46 Uhr, 26.10.2010

Mit den beiden Formeln für endliche Mengen
(i)

∣ A \times B ∣ = ∣ A ∣ • ∣ B ∣

(ii)

∣ P (M) ∣ = 2^{∣ M ∣}

und meinen Vorüberlegungen, dass die linke Seite nur in den Fällen

∣ M ∣ = 0

und

∣ M ∣ = 1

gilt, kann man die Gültigkeit der rechten Seite folgern.

anonymous

21:44 Uhr, 26.10.2010

Das gilt auch für unendliche Mengen, denn Die Mächtigkeit von

N x N

ist gleich der Mächtigkeit von

N,

nur als Beispiel

schorch

Jinmago aktiv_icon

21:19 Uhr, 27.10.2010

[

quote]Ferner ist die Abbildung
P(M)×P(M)→P(M×M)
(A,B)↦

{

(a,b)∈M×M | a∈A,b∈B}
injektiv.

[

/quote]

ist sie leider nicht, da (ich nenn sie mal

f)

f ({}, B') = {} = f (A', {})

Jinmago aktiv_icon

16:30 Uhr, 28.10.2010

sorry, falsche überlegung

anonymous

18:03 Uhr, 28.10.2010

Danke Leute, konnte die Aufgabe nun lösen!
Was würde ich ohne euch nur tun, da fehlen einem oft nur Denkanstöße ;-)
Das mit der Bijektion P(M×M)→P(M) war der Durchbruch.

besten dank,
schorch

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