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Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen - Beispiel

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Tags: KKT, maximierung

Corlette08 aktiv_icon

19:54 Uhr, 02.05.2020

Ich verstehe KKT leider nicht so ganz und ich hoffe ihr könnt mir bei diesem Beispiel helfen.

Ich verstehe die Lagrange-Funktion sowie die Ableitung, ich weiß aber nicht, was man genau bei KKT macht.

Löse folgendes Maximierungsproblem:

max_{x, y} U (x_{1}, x_{2}) = x_{1} + \frac{1}{x_{2}}

s . t

p_{1} \cdot x_{1} + p_{2} \cdot x_{2} \leq w

und

x_{1}, x_{2} \geq 0

p_{1}, p_{2}, w > 0

Lagarange-Funktion:

L = x_{1} + \frac{1}{x_{2}} - λ_{0} \cdot (p_{1} \cdot x_{1} + p_{2} \cdot x_{2} - w) - λ_{1} \cdot (- x_{1}) - λ_{2} \cdot (- x_{2})

Wir schreiben

x_{1}

und

x_{2}

mit einem Minus, weil wir

\geq

nicht testen können oder?

1. Ableitung nach

x_{1}

und

x_{2}

\frac{\partial L}{\partial x_{1}} = 1 - λ_{0} \cdot p_{1} + λ_{1} = 0

II.

\frac{\partial L}{\partial x_{1}} = \frac{1}{{(x_{2})}^{2}} - λ_{0} \cdot p_{2} + λ_{2} = 0

Jetzt wird es für mich unklar. Normalerweise würde ich nach dem jeweiligen

λ

ableiten, aber die

λ s

bleiben stehen und man prüft, ob der Term hinter dem

λ

oder das

λ

selbst 0 ist, um zu prüfen, ob die NB bindend ist oder? Wenn eine Nebenbedingung bindend ist, dann ist das jeweilige

λ = 0

?

III.

λ_{0} (p_{1} \cdot x_{1} + p_{2} \cdot x_{2} - w) = 0

IV.

λ_{1} (- x_{1}) = 0

λ_{2} (- x_{2}) = 0

1. Test für die 1. Nebenbedingung:

λ_{0} = 0

einsetzen in II.

\frac{1}{{(x_{2})}^{2}} - 0 + λ_{2} = 0

\frac{1}{{(x_{2})}^{2}} = - λ_{2} \to

FALSCH, da

\frac{1}{{(x_{2})}^{2}} > 0

und somit

λ_{2}

nicht negativ sein kann.

\to λ_{0} \neq 0 \to λ_{0} > 0

und

p_{1} \cdot x_{1} + p_{2} \cdot x_{2} - w = 0

Ist die 1. Nebenbedingung nun bindend oder nicht?

2. Test für die 2. Nebenbedingung

λ_{1} = 0

einsetzen in I.

1 - λ_{0} \cdot p_{1} + 0 = 0

\frac{1}{λ_{0}} = p_{1} \to

p_{1} > 0

und

\frac{1}{λ_{0}} > 0

Bedeutet das, dass

λ_{1} = 0

ist? Kann ich es bei den nächsten Schritten einfach mit 0 ersetzen?

Ich rechne mal nicht weiter, falls ich schon Fehler gemacht habe.

Ich würde mich über euer Feedback freuen!

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

00:56 Uhr, 03.05.2020

Hallo,

ich bin nicht in die Materie eingearbeitet,
aber mir scheint, als hätte

U

kein Maximum,
denn für hinreichend kleine

x_{2} > 0

und

0 \leq x_{1} \leq \frac{w - p_{2} \cdot x_{2}}{p_{1}}

beliebig
wächst

U

über jede Schranke.

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