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Kegelschnitt: Ellipse Aufgaben Gleichungen

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Ellipse, Geometrie, Gerade, Gleichungen, Halbachsenlänge, Kegelschnitt, Mittelpunkt bestimmen, Ordnung

anonymous

16:18 Uhr, 23.06.2013

Hallo liebe Forum- Mitglieder,

ich bin noch nie in einem Forum gewesen, aber mittlerweile weiß ich mir leider gar nicht mehr anders zu helfen und hoffe inständig, dass mir jemand weiter helfen kann.

Ich muss eine Hausarbeit zum Thema Kegelschnitt: Ellipse schreiben. Mit der Litertaur komme ich einigermaßen klar, allerdings soll ich unter anderem zwei Aufgaben berechnen, bei denen ich komplett überfragt bin.
Bitte helft mir weiter, sodass ich wenigstens einen Ansatz finde, wie so etwas funktionieren könnte.

Aufgabenstellung

1 :

Eine Ellipse habe die Gleichung

16 x_{1}^{2} + 9 x_{2}^{2} - 90 x_{2} + 97 = 0

. Bestimme ihren Mittelpunkt und ihre Halbachsenlängen.

Aufgabenstellung

2 :

Die Gerade t∶

x_{2} = - o,3 x_{1} + 2,5

berührt die Ellipse mit der Gleichung

b^{2} x_{2}^{1} + a^{2} x_{2}^{2} = a_{2} b_{2}

im Punkt

B (\frac{3,8}{5})

. Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die Halbachsenlänge

a, b

.

Über jeden Beitrag oder Ansätze zur Berechnung wäre ich äußert dankbar!
Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Atlantik aktiv_icon

18:41 Uhr, 23.06.2013

16 x^{2} + 9 y^{2} - 90 y + 97 = 0 | : 9

\frac{16}{9} x^{2} + y^{2} - 10 y = - \frac{97}{9}

Nun die quadratische Ergänzung

{(\frac{- 10}{2})}^{2} = 25

auf beiden Seiten addieren

\frac{16}{9} x^{2} + y^{2} - 10 y + 25 = - \frac{97}{9} + 25 = \frac{128}{9}

Jetzt das 2. Binom

\frac{16}{9} x^{2} + {(y - 5)}^{2} = \frac{128}{9} | : \frac{128}{9}

\frac{x^{2}}{8} + \frac{{(y - 5)}^{2}}{\frac{128}{9}} = 1

a = \sqrt{8}

und

b = \frac{8}{3} \sqrt{2}

Und

M (0 | 5)

mfG

Atlantik

Zeichnung:

anonymous

18:49 Uhr, 23.06.2013

Tausend Dank Atlantik,

mir ist leider aufgefallen, dass ich einen Tippfehler in den Aufgabenstellungen habe
*schäm*

In Aufgabenstellung 1 lautet die Gleichung

16 x^{2} + 9 y^{2} - 32 x - 90 y + 97 = 0

.

Aber ich nehme an, es geht jetzt genauso? Probiere es gerade aus.

In aufgabenstellung 2 lautet der Punkt

B (3, \frac{8}{5}),

da hat sich auch ein Tippfehler eingeschlichen.

rundblick aktiv_icon

19:01 Uhr, 23.06.2013

ZITAT:

Punkt

B

lautet(3,8/5)

Die Gerade t∶ x2=−o,3x1+2,5

ZITAT ENDE

\to

also: der Punkt

B

liegt NICHT auf deiner Geraden

t

und kann deshalb auch nicht der Berührpunkt der Tangente

t

mit der Ellipse sein..

anonymous

19:07 Uhr, 23.06.2013

Ja, Entschuldigung, dass ist mir eben auch aufgefallen.

: - (

War wohl beim tippen etwas zu schnell und kam mit dem Formeleditor hier im Forum noch nicht so zurecht

rundblick aktiv_icon

19:20 Uhr, 23.06.2013

ok, also nun mit Berührpunkt

B (3; \frac{8}{5})

\to

erste Gleichung für a und

b \to

B

liegt auf der Ellipse

b^{2} \cdot x^{2} + a^{2} \cdot y^{2} = a^{2} \cdot b^{2}

(nebenbei: da hast du oben auch noch Tippfehlerchen eingebaut

!)

zweite Gleichung

\to

die Steigung

y' = - \frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{x}{y}

der Ellipse im Punkt

B

ist

m = - 0,3

versuche nun, das Gleichungssystem für a und

b

..selbst zu lösen

\to . .

anonymous

20:07 Uhr, 23.06.2013

Ohje, ich bitte dies echt zu entschuldigen, aufgrund, dass ich heute erst beigetreten bin, hab ich das schreiben mit dem Formeleditor noch nicht raus

: - (

Hier nochmal die neu abgetippten Aufgaben.

Aufgabenstellung

1 :

Eine Ellipse habe die Gleichung

16 x^{2} + 9 y^{2} - 32 x - 90 y + 97 = 0

. Bestimme ihren Mittelpunkt und ihre Halbachsenlängen.

Aufgabenstellung

2 :

Die Gerade t∶

y = - 0,3 x + 2,5

berührt die Ellipse mit der Gleichung

b^{2} x_{1}^{2} + a^{2} x_{2}^{2} = a^{2} b^{2}

im Punkt

B (3, \frac{8}{5})

. Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die Halbachsenlänge

a, b

.

Bin in Mathe eine richtige Niete, haben aber im Seminar Themen ausgelost, sodass ich mich in dem Thema Ellipsen auch gar nicht auskenne.

Im Moment hänge ich immernoch bei Aufgabe

1 : - (

An Aufgabe 2 versuche ich mich anschließend. Aber ich habe durch deinen Beitrag einen Ansatz erhalten und weiß ungefähr, wie es weiter geht. Also schonmal vielen Dank rundblick! :-)

rundblick aktiv_icon

23:46 Uhr, 23.06.2013

http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/300219,0.html?sid=37f6e3bf71bb6ec1e5f5c659e7294467

\to

UND WO HAST DU SONST NOCH DEIN GEJAMMER VORGETRAGEN

anonymous

08:58 Uhr, 24.06.2013

Wusste nicht, dass man nicht in 2 Foren schreiben darf?

Hätte ja sein können, dass gar niemand antwortet. Hab da keine bösen Absichten mit verfolgt.

Habe aber jetzt (mit eurer Hilfe) zu beiden Aufgaben eine Lösung.
Und ja: alleine herausbekommen mit euren Ansätzen. Also vielen Dank nochmals.

Aufgabe 1 habe ich als Mittelpunkt

M (1,5)

. Mein a ist 3 und mein

b

ist 4

Aufgabe 2 habe ich mit dem Koeffizientenvergleich von

y = 0,3 + 2,5

und

y = \frac{- 15 b^{2}}{8 a^{2}} x + \frac{5 b^{2}}{8}

nun habe ich meine eine Halbachsenlänge a nun 5 und die andere

b

habe ich 2.

anonymous

09:00 Uhr, 24.06.2013

Also hab es paar mal nachgerechnet und hoffe, dass das so richtig ist.

Nochmals danke schön und Entschuldigung falls das doof rübergekommen ist.

prodomo aktiv_icon

09:14 Uhr, 24.06.2013

Die Ellipsengleichung hast du richtig umgeformt und auch die Halbachsen richtig berechnet. Wie kommst du als "Mathe-Niete" in ein solches Seminar ?

anonymous

09:23 Uhr, 24.06.2013

Oh super danke! Das gibt mir jetzt schonmal ein sicheres Gefühl, dass jemand sagt, dass es nicht falsch ist.

Ich studiere Grundschullehramt. Bei uns ist Deutsch und Mathe Pflicht, dazu noch ein drittes Fach.

Habe nun ein fachwissenschaftliches Matheseminar, in welchem man Themen ausgelost bekommt, über die man eine Hausarbeit schreibt und eine Woche später vor der gesamten Seminargruppe eine Präsentation hält.

Meine Kommilitonen haben teilweise sowas bekommen wie Extremalprobleme oder Kurvendiskussion. Sowas hätte ich wenigstens in meiner Schulzeit mal gehabt.
Aber Kegelschnitte und speziell vom Typ Ellipse ist mir in meiner gesamten Schulzeit noch nicht begegnet.

Habe auch lange gebraucht bis ich die Literatur einigermaßen verstanden habe.
War auch schon vor 2 Wochen bei meinem Dozenten und hatte ihn in seiner Sprechstunde eine konkrete Frage gestellt, worauf ich zurück bekam, das wäre doch einfach, er wüsste nicht warum ich das nicht verstehen würde.

Danach habe ich mich nicht mehr getraut nochmal zu ihm zu gehen,um bei den Aufgaben noch ein Tipp zu bekommen. Deswegen war ich echt Dankbar für die Hilfe hier.

Ist es denn wirklich schlimm in einem anderen Forum zur gleichen Zeit die Frage eizustellen?

Mathe45

09:34 Uhr, 24.06.2013

Crossposting
Na ja, sagen wir "nicht gerne gesehen".
Und dem "Rundblick" musst du sein Verhalten verzeihen.
Er ist unsere grantige "Mathematik-Oma" und hat oft einen schlechten Tag.

anonymous

09:34 Uhr, 24.06.2013

Ich habe auch zum ersten Mal in meinem Leben so ein Formeleditor benutzen müssen.

Bisher bin ich damit noch nicht konfrontiert worden. Daher auch so viele Schreibfehler.

prodomo aktiv_icon

09:37 Uhr, 24.06.2013

Ja, Kegelschnitte sind leider aus dem Lehrplan der Oberstufe fast überall verschwunden. Die Grundlagen der Analysis kommen meistens noch vor.
Die zweite Aufgabe ist auch richtig. Hast du die Ellipsengleichung implizit differenziert, also aus

b^{2} \cdot x^{2} + a^{2} \cdot y^{2} = a^{2} \cdot b^{2}

durch Ableitung auf beiden Seiten

b^{2} \cdot 2 \cdot x + a^{2} \cdot 2 \cdot y \cdot y' = 0

bekommen und dann daraus

y' = - \frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{x}{y}

? Dabei wird

y (x)

nach der Kettenregel differenziert , also

y^{2}

wird zu

2 \cdot y

und

y'

ist dann die innere Ableitung. Das hilft bei solchen Funktionen weiter.
Meine jüngere Tochter ist auch Grundschullehrerin, ihr erster Dozent war ein echtes Ekel und sehr von sich überzeugt, der zweite dann Klasse.
Melde dich ruhig wieder, wenn du auf Klippen stößt.
Gib Koordinaten nicht mit Kommatrennung ein, sonder mit dem senkrechten Strich (AltGr+<) auf den meisten Tastaturen.

anonymous

09:39 Uhr, 24.06.2013

Ok, das wusste ich wirklich nicht. Hab mir nichts böses bei gedacht. Hatte nur Angst, dass gar niemand antworten würde.

Wollte auch auf keinen Fall irgendetwas nur vorgerechnet bekommen. Wie gesagt, ich muss ja auch eine ganze Seminarsitzung über das Thema halten. Somit will ich das natürlich auch verstehen, damit ich es dann vor allen vorrechnen kann.

Und mein Professor stellt so gerne noch Fragen oder redet einem einfach rein.
Ich hab jetzt schon Angst vor der Präsentation.

Naja erstmal muss ich meine hausarbeit fertig bekommen. Habe bisher

14

Seiten und bin gerade bei den Scheitelkrümmungskreisen angekommen.

Vielen Dank nochmal und nochmal SORRY

anonymous

09:52 Uhr, 24.06.2013

Ja genau, mit der inneren Ableitung hab ich auch gerechnet. Und danke für den Tipp mit den Koordinaten. Bei MicrosoftWord hat meine Schreibweise geklappt, aber hier im Forum nicht.

Ich verstehe auch ehrlich gesagt nicht, warum ich mich als Grundschullehrerin damit befassen muss.
Wir hatten im 1. Semester auch zum Beispiel sowas wie den Beweis der Unendlichkeit von Primzahlen.

Sowas werd ich doch später alles nie wieder brauchen.

Das schlimme ist auch, dass ich überall belächelt werde, wenn ich sage ich studiere Grundschullehramt und habe Probleme mit Mathe, weil alle Leute denken wir rechnen da bloß das

1 \cdot 1 : - (

1102967

1102785

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