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Kegelstumpf: Hoehe aus Radius, Volumen und Winkel berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis

 
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anonymous

anonymous

02:25 Uhr, 18.01.2007

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Guten Tag!
Ich hoffe mir kann jemand helfen - es ist eigentlich nur ein Formelumstellungsproblem...

Ich habe einen geraden Kegelstumpf, dessen Volumen, Radius der kleineren Deckfläche (oben) und der Winkel, in welchem der Mantel auf der Bodenfläche steht, gegeben habe.

Aus diesen Werten möchte ich die Höhe berechnen.
h = 3 V π ( R 2 + R ⋅ r + r 2 ) R: Bodenradius
r: Deckflächenradius (gegeben)
V: Volumen (gegeben)
Alpha (siehe unten): Winkel zwischen Mantel und Bodenfläche (gegeben)

Diese erste Formel zeigt die normale Volumenformel nach der Höhe umgestellt. h = 3 V π ( cot ( α ) ⋅ h + r ) 2 + ( cot ( α ) ⋅ h + r ) ⋅ r + r 2 Diese modifizierte Formel zeigt eine trigonometrische Anpassung --> der unbekannte Bodenradius R wurde eliminiert und gegen eine Beziehung mit der Höhe ausgetauscht --> rechtwinkliges Dreieck aus Mantellinie (Hyp.), Radiusteilstück (R-r) und Höhe.

Problem: Ich schaffe es nicht, die Formel so umzustellen, dass ich die Höhe auf einer Seite habe!
Muss man da irgendwie übers Integral ran? (Bin ich nicht so fit drin)

Wer hat eine Lösung für das Problem und kann mir helfen?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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anonymous

anonymous

13:22 Uhr, 18.01.2007

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Hallo,



ich kann zu Zeit nicht sehen, was Du da gemacht hast, da ich an einem PC sitz der mir nicht gehört, auf dem ich keine Rechte habe und der mir keine Formaln anzeigen kann und auch nicht schreiben. Ich sehe also nicht, was Du bereits hast, ich fange ganz von vorn an.



Ich nehme mal Deine Bezeichnungen für R, r und V und nehme die zusätzliche Bezeichnung h' für die Höhe des Kegels, der von einem größeren Kegel abgeschnitten abgeschnitten wurde, so daß gerade dieser eine hier betrachtete Kegelstumpf übrig blieb, dieser Kegelstumpf habe die Höhe h. Der Winkel, den Du gegeben hast nenne ich mal alpha, schreibe aber der Kürze wegen nur a.



Jetzt gilt doch: R/(h + h') = cot(a) und h'/r = tan a

Letzteres gilt, weil der abgeschnittene Kegel natürlich den selben Winkel zwischen seiner Bodenfläche und seinem Mantel haben muß!



R = (h + h') * cot(a)

h' = r * tan(a)



V = V(großer Kegel) - V(abgeschnittener Kegel)

= 1/3*pi*R^2*(h+h') - 1/3*pi*r^2*h'

= 1/3*pi*(R^2*(h+h') - r^2*h')

= 1/3*pi*((h+h')^2*cot^2(a)*(h+h') - r^2*h')

= 1/3*pi*((h+h')^3*cot^2(a) - r^2*h')

= 1/3*pi*((h+r*tan(a))^3*cot^2(a) - r^2*r*tan(a))



3/pi*V = (h+r*tan(a))^3*cot^2(a) - r^2*r*tan(a)

3/pi*V + r^2*r*tan(a) = (h+r*tan(a))^3*cot^2(a) | * tan^2(a)

3/pi*V*tan^2(a) = (h+r*tan(a))^3

h + r*tan(a) = dritte_Wurzel(3/pi*V*tan^2(a))

h = dritte_Wurzel(3/pi*V*tan^2(a)) - r*tan(a)



Ich hoffe mich nicht verrechnet zu haben, aber der Weg sollte richtig sein, also nachrechnen und mit eventuell korrigierten Zwischenergebnissen nochmals rechnen.
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