Kehrwert einer komplexen Zahl

Hallo,

ich kann mir nicht herleiten, warum man beim Kehrwert einer komplexen Zahl

z = a+bi

${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{1}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ mit (a - ib) erweitert.

${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}}$

Ich hatte, als man es selbst herleiten sollte, mit ( a + ib) erweitert.

Ich kam dann nicht auf diese Lösung ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}=\frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{a²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\frac{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{a²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$.

Kann einer erklären, warum man mit ( a - ib ) erweitert??

Ok, dann hätte ich nach meiner falschen Erweiterung mit (a+bi), einfach mal sagen sollen, "ok jetzt probiere ich mal (a-bi) mal schauen was der Bruch macht". Dann hätte ich es selbst hergeleitet