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Kern und Bild berechnen
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Tags: Linear Abbildung
 
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Hallo Zusammen, Hat jemand eine Idee, wie ich diese Aufgabe angehen soll? Bin für jede Hilfe dankbar :-) Gegeben sei die lineare Abbildung fλ → mit λ ∈ welche wie folgt definiert ist: fλ(x)= "Matrix" x1+2x2+x3+λx4 +(2λ−1)x4) Berechnen Sie Kern(fλ) und Bild(fλ), geben Sie jeweils mit Begründung in Abhängigkeit von λ die Dimension dieser beiden Räume, sowie eine Basis an. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Das ist eine Standardaufgabe, da braucht man keine "Ideen". Kern ist die Lösungsmenge des Systems , also muss es halt gelöst werden (Gauss Elimination). Bild wird durch die Spalten der Matrix erzeugt. |
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Beim Kern bin ich mit dem Gauß Algorithmus zu dem Ergebnis gekommen, dass gilt: Kann das stimmen? Bei dem Bild bin ich dazu gekommen, dass jede Spalte der Matrix zum Bild gehört |
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Hallo bei mir hängt das Ergebnis von ab, wieso bei dir nicht? Gruß ledum |
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Bei dem Kern? Ich habe den Gauß Algorithmus angewandt, und dabei wurde das eliminiert. Bin mir allerdings nicht sicher, ob das der richtige Weg ist. |
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Der Weg an sich richtig, nur die Berechnung wohl fehlerhaft. |
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Ich habe jetzt mal einen Online Rechner zur Hilfe genommen und das LGS gelöst. Da kommt auch raus Das ist dann doch der Kern der Matrix, oder etwa nicht? |
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"einen Online Rechner" Einen Online Rechner, der es mit beliebigem schafft? :-O Wo gibt's solchen? |
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Wolfram Alpha oder auch "matrixcalc.org" |
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Zumindest matrixcalc.org gaukelt nur vor, dass es die Berechnungen mit Parametern kann, ich habe gerade geprüft. Es macht Quatsch. |
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Kern ist Null, nur wenn . Bei ist der Kern eindimensional. |
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danke für die Antwort, darf ich fragen, wie man darauf kommt? :-) Wie ist das denn mit dem Bild der Matrix, muss ich da bei der Berechnung wegen dem etwas spezielles beachten? |
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"danke für die Antwort, darf ich fragen, wie man darauf kommt?" Na mit Gauss. Ach Mensch, muss ich das wirklich aufschreiben? Nun gut, am Anfang hast Du (I) (II) (III) (IV) So, jetzt ersetze (III) durch (III)-(I), es entsteht (I) (II) (IIINeu) (IV) Jetzt (II) durch (II)+0.5(IIINeu) und (IV) durch (IV)+0.5(IIINeu) ersetzen: (I) (IINeu) (IIINeu) (IVNeu) Und zuletzt (IVNeu) durch (IVNeu)-(2/3)(IINeu) ersetzen: (I) (IINeu) (IIINeu) (IVGanzNeu) Wenn jetzt , dann muss sein und dann alle anderen, so dass nur eine Nulllösung rauskommt. Bei dagegen kann beliebig sein. Und jede erzeugt eine Lösung, die von abhängig ist, damit haben wir eine eindimensionale (weil nur von einem Parameter abhängig) Lösungsmenge. |
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"Wie ist das denn mit dem Bild der Matrix, muss ich da bei der Berechnung wegen dem Λ etwas spezielles beachten?" Dim(Kern)+Dim(Bild)=4 in Deinem Fall, wie aus Dimensionsformel folgt. Damit ist Bild = alles, wenn Kern =0. Aber im Fall Kern muss das Bild explizit bestimmt werden. |
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Hallo, Vielen Dank für die ausführliche Erklärung, hat mir wirklich weitergeholfen :-) Ich versuche schon die ganze Zeit, das Bild zu bestimmen, aber das macht mir Probleme. Wie ist da die beste Vorgehensweise? Transponieren und die lineare Hülle bilden? |
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"Transponieren und die lineare Hülle bilden?" Ja |
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So, ich habe jetzt die folgende Lösung rausbekommen: Für besteht das Bild aus den Spalten . Stimmt das? Für andere Werte würde das Bild aus allen Spalten bestehen, was ja nicht möglich ist... |
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"besteht das Bild aus den Spalten 1,2,3. Stimmt das?" Wenn man richtig formuliert, schon. Aber Du hast es eigentlich falsch formuliert. Denn das Bild besteht nicht aus drei Vektoren, sondern aus unendlich vielen. Aber Spalten 1,2,3 sind eine Basis vom Bild (eine, weil es in jedem Raum unendlich viele verschiedene Basen gibt, nur die Anzahl der Basisvektoren bleibt konstant). "Für andere Λ Werte würde das Bild aus allen Spalten bestehen, was ja nicht möglich ist..." Nicht nur möglich, sondern sogar richtig. Und ich habe das oben auch schon geschrieben. Wenn Kern=0, ist Bild=Alles. |
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Dann hätte ich ja jetzt den 1. Aufgabenteil. Aber wie sieht es mit der weiteren Aufgabenstellung aus? "Geben Sie jeweils mit Begründung in Abhängigkeit von λ die Dimension dieser beiden Räume, sowie eine Basis an" |
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Basen hast Du doch jetzt auch. :-O Und die Dimension ist nur die Anzahl der Basisvektoren. |
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Das heißt, das war schon die komplette Aufgabe? :-D) |
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Ich will nur nochmal nachfragen... Das war jetzt die komplette Aufgabe, oder? Oder muss man noch etwas machen? |
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"Oder muss man noch etwas machen?" Sorry, aber das ist etwas, was Du selber rausfinden sollst. |
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