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Kern und Bild einer linearen Abbildung bestimmen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

Khokta aktiv_icon

11:22 Uhr, 11.12.2015

Hallo zusammen! Also ich habe eine lineare Abbildung

T : ℝ^{3} \to ℝ^{3}, T (x, y, z) = (x,2 x + y, x + z)

gegeben.

Unter anderem soll ich nun erstmal den Kern und das Bild dieser Abbildung bestimmen. Leider haben wir bisher in der Vorlesung dazu noch nichts gemacht.

1)

Laut Def ist kernT:=

{

(x, y, z) \in ℝ^{3} : T (x, y, z) = 0'},

wobei 0':=Nullvektor

Also habe ich 3 Gleichungen:

x = 0

2 x + y = 0

x + z = 0

Daraus folgt

y = 0

und

z = 0

und daher kernT=

{(0,0,0)}

Stimmt das so?

2)

Das Bild (imT) ist definiert als imT:=

T (ℝ^{3})

Hier habe ich leider keinen Ansatz wie ich das berechnen könnte... Bezüglich Matrizen haben wir dazu bisher noch nichts gemacht!

Liebe Grüße,

Khokta

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pwmeyer aktiv_icon

11:38 Uhr, 11.12.2015

Hallo,

Deine Überlegung zum Kern stimmt.

Das Bild lässt sich auch so beschreiben:

T (x, y, z) = x \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + y \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + z \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

besteht also aus allen Linearkombinationen der drei Vektoren. Diese sind linear unabhängig. Also spannen sie ganz

ℝ^{3}

auf

Gruß pwm

Khokta aktiv_icon

11:49 Uhr, 11.12.2015

Hallo,

also ich habe nun die kanonische Basis mit

e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0)

und

e 3 = (0,0,1)

hergenommen. Dann imT=

[T (1,0,0), T (0,1,0), T (0,0,1)] = [\begin{matrix} 1,2,1 \\ 0,1,0 \\ 0,0,1 \end{matrix}]

und daraus folgt imT=

λ_{1} \cdot (1,2,1) + λ_{2} \cdot (0,1,0) + λ_{3} \cdot (0,0,1)

mit

λ_{1,2,3} \in ℝ

Korrekt?
Die Dimensionen des Bildes ist

3,

da wir ja 3 Vektoren haben oder?

ledum aktiv_icon

11:57 Uhr, 11.12.2015

Hallo
korrekt
Gruß lula

Khokta aktiv_icon

12:07 Uhr, 11.12.2015

Super danke! Wie wäre das jetzt bei dem Beispiel

T : ℝ^{3} \to ℝ^{2}

mit

T (x, y, z) = (4 x + y, y + z),

da habe ich doch das gleiche Bild von

T

wie bei dem vorigen Beispiel oder? (da ich die selbe Basis nehme).

Und eine Frage hätte ich noch:

T : V \to V

mit

T (f) = f',

wobei

V = {f : ℝ \to ℝ, f

Polynom vom Grad

\leq n},

und

f'

die Ableitung von

f

.

Wie bestimme ich hier beispielsweise den Kern?

Lg
Khokta

Bummerang

13:48 Uhr, 11.12.2015

Hallo,

"... da habe ich doch das gleiche Bild von

T

wie bei dem vorigen Beispiel oder? (da ich die selbe Basis nehme)."

Gleich Basis ergibt mit gleicher Abbildung natürlich gleiches Bild! Aber gilt das auch für verschiedene Abbildungen? Dann würde das Bild an der gewählten Basis hängen und nicht an der Abbildung. Das kann nicht sein!

"Wie bestimme ich hier beispielsweise den Kern?"

Ja welche Polynome werden denn bei der Ableitung auf ein Polynom abgebildet, welches konstant Null ist?

Khokta aktiv_icon

14:13 Uhr, 11.12.2015

"Gleich Basis ergibt mit gleicher Abbildung natürlich gleiches Bild! Aber gilt das auch für verschiedene Abbildungen? Dann würde das Bild an der gewählten Basis hängen und nicht an der Abbildung. Das kann nicht sein!"

Stimmt, da habe ich wohl zu schnell gefolgert! Ist mir nun klar, danke!

"Ja welche Polynome werden denn bei der Ableitung auf ein Polynom abgebildet, welches konstant Null ist?"

Das Nullpolynom? Also kernT=

{

f \in V : f'

ist Nullpolynom

}

ledum aktiv_icon

15:24 Uhr, 11.12.2015

Halo
auf was wird

f = 17

abgebildet oder

f = 1234567

?
Gruß ledum

Khokta aktiv_icon

08:26 Uhr, 14.12.2015

Ich denke

f = 17

wird auf

17

abgebildet?

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