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Kern und Rang einer Matrix
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Kern, Matrizenrechnung, Rang
 
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anonymous 20:47 Uhr, 30.11.2009  |
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Kann mir jemand an diesen Beispiel erklären wie man den Kern und den Rang der Matrix bestimmt? Matrix Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo Luca, grundsätzlich versucht man die Matrix durch elementare Zeilenumformungen (oder Spaltenumformungen, aber nur eins von beiden) auf obere Dreiecksgestalt zu bringen. Der Rang ergibt sich aus der Ordnung der Matrix (hier 3) vermindert um die Anzahl der Nullzeilen (oder eben Nullspalten bei Spaltenumformungen). In diesem Fall geht das einfach, addiere das doppelte der ersten Zeile zur 2. Zeile, es ergibt sich die dritte Zeile. Da die ersten beiden Zeilen (als Vektoren) linear unabhängig sind, ergibt sich, dass der Rang der Matrix gleich 2 ist. Damit ist die Dimension des Kerns (= Anzahl Nullzeilen) gleich 1. Als Basis für den Kern könnte man nehmen. Mfg Michael |
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anonymous 21:44 Uhr, 30.11.2009 |
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Danke für die gute Erklärung. Jetzt habe ich noch eine kleine Frage. Wie kommt man auf die Ordnung der Matrix? Bei einer Matrix scheint es logisch, dass die Ordnung 3 ist aber wie wäre die Ordnung denn . bei einer Matrix ? |
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Hallo Luca, äh ich habe das für quadratische Matrizen erklärt. Allgemein: Es geht um die Dimension des Vektorraums, der der Definitionsmenge entspricht. Im Falle einer 3x4-Matrix würde diese Matrix eine (lineare) Abbildung von einem 3-dimensionalen in einen 4-dimensionalen Vektorraum induzieren. Dann wäre die Ordnung eben 3. Es geht dabei um die Anwendung der Dimensionsformel (dim(ker())+dim(Im())=n=dim(V), für ). Also: Es stehen eben nur =dim() viele linear unabhängige Vektoren zur Verfügung. Davon werden dim(ker()) viele auf Null abgebildet (bei geeigneter Basis). Der Rest gibt an, wie viele Vektoren das Bild aufspannen. Ich hoffe, dass dir dieser (eher wirre) Vortrag irgendwie geholfen hat. Mfg Michael |
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anonymous 22:13 Uhr, 01.12.2009 |
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Wäre also bei dieser Matrix der Rang 2 und dim Kern=1 ? Ich habe die 2.Zeile minus die 3.Zeile gerechnet und dann diese Zeile minus die 1. ein mögliche Basis für den Kern wäre Stimmt das alles ? Vielen Dank im voraus. |
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