Kern und injektive Abbildung

Hallo,

wo ist denn nun das Problem?

wenn (f-${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot }$id) injektiv ist dann ist Ker (f-${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot }$id) ={0} (und nicht leer wie Du schreibst) Also nur 0 wird auf 0 abgebildet.

Falls es umgekehrt ein b ${\displaystyle \ne }$ 0 gibt, mit (f-${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot }$id) b ${\displaystyle \ne }$ 0, dann ist dieses b ein von 0 verschiedenes Element in ker(f-${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot }$id) und daher (f-${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot }$id) nicht injektiv.

Gruß

Stephan

Na klar, injektiv heißt doch, dass zwei verschiedene Elemente auch auf verschiedene Elemente im Bildraum abgebildet werden. Wenn der Kern nicht nur aus der 0 besteht, dann stimmt das doch nicht mehr. Denn dann werden (sogar viel mehr als) zwei verschiedene Elemente auf die 0 abgebildet.

Nein, jedes Element im Zielraum ist tatsächlich ein Bild.

Mal ein Beispiel: ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:{\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3\to {\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2,\left(\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 0\end{array}\right)}$ ist nicht surjektiv, weil der Vektor ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)}$ nicht in Bild f liegt, aber im Zielraum ${\displaystyle {\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$.

Gerne und notfalls fragst Du halt nochmal ;-)