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Kern,Inversion einer Matrix

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Tags: Inversion, Kern

CarlaColumna aktiv_icon

14:14 Uhr, 05.12.2012

Hallo, geg:

A = (\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - \frac{1}{2} & 0 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \end{matrix}), C = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 4 \\ 2 & - 3 \end{matrix})

i)

Bestimmen Sie Kern

(A),

Kern

(B)

und Kern

(B \cdot C),

also die Vektoren in

ℝ^{3},

die von der jeweiligen Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden,

z . B

. Kern(A)=

{

\in ℝ^{3} | A x = 0}

i i)

Welche der Matrizen

A, B, C, B \cdot C

ist invertierbar, weshalb und warum?

Also aus der Vorlesung haben wir gelernt, dass eine Matrize dannn invertierbar ist, wenn sie bijektiv ist bzw. surjektiv oder injektiv. Das ist jetzt der Hintergrund,

A^{- 1} \cdot A =

Einheitsmatrix sein dann wissen wir das. Wie ueberpruefe ich, dass oder kann ich das auch so sagen ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

15:05 Uhr, 05.12.2012

Hallo,

Du ermittelst den Kern der Abbildungen. Eine QUADRATISCHE Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihr Kern der Nullraum ist!

CarlaColumna aktiv_icon

20:44 Uhr, 05.12.2012

Wie mache ich das dann explizit ? Sagen wir mal

U, W

seien Vektorräume

(V R)

und die lineare Abbildung

A : U \mapsto W

Dann ist der Ker

(A) : = {v \in U | A v = 0}

Jetzt wenn beispielsweise die Determinante

\neq 0

ist dann enthält der Kern nur den

\vec{0}

Nullvektor. Ist sie

= 0

dann ist der Kern die Menge aller Vektoren, die von der Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden. Aber wieso ist das so ? Wie kann ich das überprüfen und komplett diese Zusammenhänge verstehen ?

Nun wie kriege ich das auf meine Aufgabe bezogen heraus ? Noch eine Frage was sind quadratische Matrizen und kann ich mir diese im Koordinatensystem vorstellen, einfach als Vektoren ?

Gerd30.1 aktiv_icon

12:23 Uhr, 10.12.2012

Wenn du den Gauß-Jordan Algorithmus auf

A, B

und BC anwendest, kommst du immer zur Lösung Kern=vec(0).
Invertierbar sind nur A und BC , weil sie quadratisch sind und Kern=

\vec{0}

CarlaColumna aktiv_icon

21:18 Uhr, 10.12.2012

Wenn ichn Gauß-Jordan Algorithmus auf

A, B

und BC anwende, komme ich immer zur Lösung Kern=vec(0) ? Wie komme ich denn dahin bzw. wie kann ich das daraus schließen, dass der Kern=

\vec{0}

ist? Mit dem Gauß kriege ich Lösungen raus oder halt nicht.
Invertierbar sind nur A und BC , weil sie quadratisch sind ? Wie überprüfe ich das ?
Bzw. wie muss ich alles aufschreiben damit es richtig ist ?
Vielen Dank für Eure Hilfe.

CarlaColumna aktiv_icon

01:37 Uhr, 11.12.2012

Die Lösungen der Gleichungssystem

A \vec{x} = 0

und

B \vec{x} = 0

sowie

B C \vec{x} = 0

ergibt über die triviale Lösung Null was heißt das denn jetzt? Der Kern ist überall der Nullvektor

mafi02 aktiv_icon

10:05 Uhr, 11.12.2012

Ja das heißt das.

CarlaColumna aktiv_icon

23:01 Uhr, 11.12.2012

Jo danke.

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