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Klassenzahlen berechnen

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie

Lapislazuli aktiv_icon

20:00 Uhr, 02.07.2012

Hallo,

ich soll auf meinem neuen Übungszettel

h (5)

und

h (- 15)

berechnen.

Habe das folgendermaßen gemacht und würde gern wissen, ob das so stimmt.

D = 5

hat, wenn ich das richtig verstanden habe, die gleiche Klassenzahl wie

D = - 5

Also kann ich statt

h (5)

auch

h (- 5)

ausrechnen.

D = - 5

folgt, dass

a \leq \sqrt{\frac{5}{3}},

also kann a nur 1 sein, da die betrachteten Formen ja immer positiv definit und reduziert sind.

Also ist

- 5 = b^{2} - 4 c

Außerdem gilt für reduzierte Formen immer

b

betragsmäßig

\leq a,

also

b = 1, 0,

-1....usw.

Muss ich jetzt immer weiter ausprobieren? Oder ist

b = 1,

weil ich sonst aus Symmetriegründen auch Lösungen für

b \geq a

finden würde?

Wenn

b = 1

richtig ist, dann würde folgen:

- 6 = 4 c,

also

c

nicht in

ℤ

und damit

h (- 5) = h (5) = 0,

stimmt das so? Kann die Klassenzahl überhaupt 0 sein? Oder muss ich doch 5 nehmen statt

- 5

?

Für

h (- 15)

hab ich alles genauso gemacht. a muss dann 1 oder 2 sein.
Für

a = 1

bleibt

b = 1;

für

a = 2,

bleibt

b = 1

oder 2

Einsetzen ergab bei mir 2 mögliche Lösungen, also

h (- 15) = 2

.

Stimmt das so?

Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

21:27 Uhr, 02.07.2012

Klassenzahl hier als Anzahl der Äquivalenzklassen von positiv definiten binären quadratischen Formen gegebener Diskriminante berechnet (und nicht als Ordnung der Idealklassengruppe des Zahlkörpers

ℚ [\sqrt{D}])

?

Ich sehe nicht unmittelbar, wieso

h (5) = h (- 5)

sein soll.

D = b^{2} - 4 a c

kann ja für ganzes

a, b, c

nur

\equiv 0

oder

\equiv 1 (mod 4)

sein.
Insofern macht nur

D = 5

und

D = - 15

Sinn.
Die Klassenzahl kann auch nicht

= 0

sein (wenn

D \equiv 0

oder

D \equiv 1)

Aber die 2 für

D = - 15

scheint mir vernünftig zu sein.

Lapislazuli aktiv_icon

22:34 Uhr, 02.07.2012

Ah, dass

D

nur 0 oder

1 mod 4

sein kann, habe ich total vergessen zu berücksichtigen...
Wir haben eben die Klassenzahl nur für

D < 0

definiert.

Aber nehmen wir mal

D = 5 :

Dann ist

5 = b^{2} - 4 c,

hat dann also für

b = 1,

eine Lösung in

ℤ

.

Ist dann

h (5) = 1

?

Warum muss man, wenn man

b

betrag

\leq a

annimmt, nicht alle Werte kleiner 0 ansehen?
Oder bedeutet positiv definit, dass sowohl

a,

als auch

b

als auch

c

größer 0 sind?

Lg

hagman aktiv_icon

08:14 Uhr, 03.07.2012

Positiv definit bedeutet, dass für alle

X, Y

stets

a X^{2} + b X Y + c Y^{2} \geq 0

ist.
Insbesondere für

X = 1, Y = 0

folgt

a \geq 0,

ebenso für

X = 0, Y = 1 : c \geq 0

.
Mit

X = 1, Y = \pm 1

findet man noch

a \pm b + c \geq 0,

also

| b | \leq a + c

.
Aber

b

selbst kann dabei durchaus negativ sein.
Alle weiteren Einschränkungen ergeben sich durch geschickten Übergang zu äquivalenten Formen (vermöge linearer Substitutionen).
Wenn wir annehmen, unser

(a, b, c)

sei minimal in dem Sinne, dass keine hierzu äquivalente Form ein kleineres "a" hat, folgt zunächst

a \leq c,

denn durch Tausch

X

gegen

Y

gelangt man zu

(c, b, a)

.
Durch weitere Substitutionen gelangt man zu stärkeren Einschränkungen an

a, b, c

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