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Kleiner Satz von Fermat

Schüler Gymnasiale Oberstufe, 11. Klassenstufe

Tags: Fermat, kleiner, Satz

Der-Doofe aktiv_icon

14:57 Uhr, 07.09.2016

Morgen,

ich bin gerade dabei mich selber total zu verwirren. Laut definition besagt der kleine Satz von Fermat ja folgendes:

a^{p} \equiv a (m o d p)

wenn a eine Ganze Zahl ist un p eine Primzahl.

1. Frage: muss das p auf der linken Seite das selbe sein wie auf der rechten Seite? Wäre für mich nur logisch, sonst würde ich nicht beides p nennen...

Weiter gilt ja, wenn a kein Vielfaches von p ist bzw. p nicht a teilt:

a^{p - 1} \equiv 1 (m o d p)

für mich erklärt sich das folgendermaßen:

(a^{p}) m o d (p) = a m o d (p)

Sprich: (a hoch p) modulo p gerechnet ergibt das selbe wie a modulo p.

Und:

(a^{p - 1}) m o d (p) = 1 m o d (p)

Sprich: (a hoch p-1) modulo p ergibt das selbe wie 1 modulo p.

Nun versteh ich aber nicht, wie man mithilfe dieses Satzes Potenzen vereinfachen kann.
zB folgende Aufgabe:

10 3^{122} m o d 11

a = 103 und p = 11, aber wenn p = 11 dann kann 122 ja nicht auch p sein?? (sie erster Teil des Satzes v.F.)
Aber egal, weiter: Da a und p (103 und 11) teilerfremd sind, kann folgendes gerechnet werden:

122 m o d 10 = 2 = > 10 3^{2} m o d 11

Warum? Wie steht diese Rechnung im Zusammenhang mit dem Satz von Fermat?

So wie ich ihn verstehe könnte man ihn überhaupt nicht anwenden da 122≠11..

Kann mich da bitte jemand erleuchten?

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