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Kleinste Sigma Algebra für Mengensysteme

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

Euler03 aktiv_icon

21:22 Uhr, 10.10.2024

Aufgabe:
Bestimmen Sie

A_{σ} (ℰ)

für folgende Mengensysteme

ℰ

und Grundmengen

Ω

:
1.

ℰ = {A}

für beliebiges

A \subseteq Ω

mit

A \neq \emptyset

. Hier ist

Ω

eine beliebige nichtleere Menge .
2.

Ω = ℕ

und

ℰ = {{n} : n \in ℕ}

Ω = ℝ

und

ℰ = {{x} : x \in ℝ}

.

Hinweis: Betrachten Sie das Mengensystem

C = {A \subseteq

ℝ : A

oder

A^{c}

ist abzählbar

}

. Vergewissern Sie sich, dass

C

eine

σ

-Algebra ist und zeigen Sie anschließend

A_{σ} (ℰ) = C

.

Ich wäre nun folgendermaßen vorgegangen:
1.

A_{σ} (ℰ) = {\emptyset, A, A^{c}, Ω}

2. Die Potenzmenge von den natürlichen Zahlen
3. Hier soll ich also zeigen, dass

C = {A \subseteq ℝ : A

oder

A^{c}

ist abzählbar

}

eine

σ

-Algebra ist, also die folgenden Eigenschaften überprüfen (das habe ich auch schon gemacht):
-

Ω \in C

- Wenn

A \in C

, dann

A^{c} \in C

- Wenn

{(A_{i})}_{i \in ℕ}

eine Folge von Mengen in

C

ist, dann

⋃_{i \in ℕ} A_{i} \in C

Ist das soweit richtig bzw. wie zeige ich dann weiter, dass

C

die kleinste

σ

-Algebra ist, die

ℰ

enthält?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

10:01 Uhr, 11.10.2024

Zu 3)

Naja, du musst einfach noch zeigen, dass

C \subseteq A_{σ} (ℰ)

, d.h. dass all diese Mengen aus

C

auch tatsächlich in der Sigma-Algebra liegen müssen - und das mittels der Sigmaalgebra-Eigenschaften ausgehend von den Mengen des Erzeugers

ℰ

1588218

1588212

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