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Körperberechnung

Schüler Gymnasium, 8. Klassenstufe

Tags: knifflig

tannebaum2412 aktiv_icon

19:21 Uhr, 27.09.2012

Eine Kugel mit dem Durchmesser

d

und ein Würfel mit der Kantenlänge a sollen dasselbe Volumen besitzen. In welchem Verhätnis stehen ihre Oberflächengrößen zueinander ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hardliner aktiv_icon

21:44 Uhr, 27.09.2012

Hi, also:
Es soll ja gelten:

V (K) = V (W)

also

V (W) = a^{3} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π = \frac{4}{3} \cdot {(\frac{d}{2})}^{3} \cdot π = V (K) (r = \frac{d}{2})

weiter ausgeklammert:

a^{3} = \frac{4}{3} \cdot \frac{d^{3}}{8} \cdot π

a^{3} = d^{3} \cdot \frac{π}{6},

also

a = d \cdot \sqrt[3]{\frac{π}{6}}

Nun zum Oberflächeninhalt:
Der Oberflächeninhalt des Würfels

O (W) :

O (W) = 6 \cdot a^{2}

und der Kugel

O (K) :

O (K) = 4 \cdot π \cdot r^{2} = 4 \cdot π \cdot \frac{d^{2}}{4} = d^{2} \cdot π

jetzt setzen wir in

O (W)

den oben gewonnenen Wert von A ein:

O (W) = 6 \cdot {(d \cdot \sqrt[3]{\frac{π}{6}})}^{2} = 6 \cdot d^{2} \cdot {\sqrt[3]{(\frac{π}{6})}}^{2} = d^{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{π^{2}}{6}}

Wenn ich mich jetzt nicht verrechnet habe, ist das Verhältnis von

π

\sqrt[3]{\frac{π^{2}}{6}}

das Verhältnis zwischen den Oberflächen, also

\frac{π}{\sqrt[3]{\frac{π^{2}}{6}}} ≅ 2.66134

. Somit ist der

O (K)

bei gleichem Volumen ca.

2.66134 \cdot O (W)

tannebaum2412 aktiv_icon

22:23 Uhr, 27.09.2012

Vielen vielen dank ;-) hat mir viel Geholfen . Schreibe nämlich morgen eine klusur und unser Lehrer nimmt immer solche Aufgaben als Denkaufgabe Oder so dran. Ich war schon ziemlich am verzweifeln. Jedenfalls weiß ich jetzt wie ich so was löse.

Nochmals vielen dank

sigma10 aktiv_icon

23:03 Uhr, 27.09.2012

Hallo Tannebaum2412,

der Rechenweg von Hardliner ist richtig. Aber ist die Oberfläche der Kugel "wirklich" fast zwei-einhalb mal so groß wie die des Würfels bei gleichen Volumen?

Stell dir beide Körper vor. Eine Kugel und einen Würfel mit gleichen Volumen. Beide sollten nebeneinander gestellt ähnliche Ausmaße haben. Jetzt stell dir vor, du könntest den Würfel zu dieser Kugel kneten bzw verformen!

Wo liegt der Fehler in Hardliners Rechnung?

Das richtiger Verhältnis ist

\frac{O_{K}}{O_{W}} = \frac{π}{6 \cdot {(\frac{π^{2}}{6^{2}})}^{\frac{1}{3}}} = {(\frac{π}{6})}^{\frac{1}{3}}

In Hardliners Worten:

O (K) = 0.805996 O (W)

mfg

σ 10

MrBlum aktiv_icon

08:12 Uhr, 28.09.2012

Was auch logisch ist, Tante Wiki sagt:

"Die Kugel besitzt bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche aller möglichen Körper."

http//de.wikipedia.org/wiki/Kugel#Oberfl.C3.A4che

Hardliner aktiv_icon

09:16 Uhr, 28.09.2012

Jupp, meine Schlussfolgerung war falsch, es war eben schon spät am Abend

\land

Danke für die Korrektur

MrBlum aktiv_icon

09:24 Uhr, 28.09.2012

@Hardliner

Du hattest fast nichts falsch außer einem kleinen aber folgenschweren Rechenfehler.

Dort wo die dritte Wurzel aus

\frac{π}{6}

quadriert wird, muss danach

36

im Nenner stehen.

Dann kommt man dorthin was

σ 10

herausbekommen hat. :-)

edit: Falls Du den 6er irgendwie kürzen wolltest, müsstest Du unter die dritte Wurzel

\cdot 216

in den Zähler schreiben, dann fällt der Nenner weg und im Zähler bleibt

6 \cdot π

Atlantik aktiv_icon

10:38 Uhr, 28.09.2012

Ein anderer Zugang ( mit Zahlen)

V_{K} = 1

V_{K} = \frac{4}{3} r^{3} \cdot Π

\frac{4}{3} r^{3} \cdot Π = 1

r = \sqrt[3]{\frac{3}{4 Π}}

O_{K} = 4 Π r^{2}

O_{K} = 4 Π {(\sqrt[3]{\frac{3}{4 Π}})}^{2} = 4,8359745

V_{K} = V_{W}

V_{W} = 1

ergibt

a = 1

somit

a^{2} = 1

weiter gilt dann

O_{W} = 6 \cdot 1 = 6

\frac{O_{K}}{O_{W}} = \frac{4,8359745}{6} = 0,80599575

O_{K} = 0,80599575 \cdot O_{W}

Das ist nun auch das gleiche Ergebnis wie

σ_{10}

allgemein aufgeschrieben hat.

mfG

Atlantik

1032041

1031891

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