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Körpererweiterung, Ausdehnung

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Ausdehnung, Erweiterung, Körper

fesiborlin aktiv_icon

15:24 Uhr, 14.03.2018

Hallo,
ich versuche den Beweis von diesem Satz zu verstehen: Sei

K (a_{1}, . . ., a_{n})

eine endliche Erweiterung eines Körpers

K

und sei

j : \to M

eine Körpererweiterung mit der Eigenschaft, dass alle Minimalpolynome

m i n_{K} (a_{i})

M [X]

vollständig in Linearfaktoren zerfallen. Dann gibt es eine Ausdehnung von

j

.
In dem Beweis steht, dass es Surjektionen

A l g_{K} (K (a_{1}, . . ., a_{n}), M) \to A l g_{K} (K (a_{1}, . . ., a_{n - 1}, M) \to A l g_{K} (K (a_{1}, . . ., a_{n - 2}, M) \to A l g_{K} (K, M)

gibt. Das sollte aus diesem Satz folgen: Sei

K (a)

eine primitive algebraische Erweiterung eines Körpers

K

und sei

j : K \to M

eine beliebige Körpererweiterung. Dann gibt es einen Isomorphismus

A l g_{K} (K (a), M) \to {b \in M ∣ m i n_{K} (a) (b) = 0}, φ \mapsto φ (a)

.
Ich verstehe nicht wieso aus diesem Satz die Surjektionen folgen und würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte.
Vielen Dank im Voraus
Fesiborlin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Raummessung

fesiborlin aktiv_icon

16:42 Uhr, 14.03.2018

Ich habe mir überlegt, dass

K (a_{1}), K (a_{1}, a_{2}), . . ., K (a_{1}, . . ., a_{n})

algebraisch sind, da die Minimalpolynome in Linearfaktoren zerfallen und somit darf man den anderen Satz anwenden. Ist das richtig? und wie soll man den Satz anwenden um die Surjektionen zu haben?
Viele Grüße
Fesiborlin

ermanus aktiv_icon

22:43 Uhr, 15.03.2018

Hallo,
ich versuche, deinen Text zu verstehen, bisher noch mit großen
Schwierigkeiten. Welche Struktur trägt z.B.

A l g_{K} (K (a), M)

?
Ist das nicht einfach nur eine Menge oder ist es ein Vektorraum
oder ein Ring oder wieder eine

K -

Algebra. Ich sehe darin nur eine
Menge.
Dann verstehe ich aber nicht, wieso du schreibst,

A l g_{K} (K (a), M) \to {b \in M ∣ m i n_{K} (a) (b) = 0}, φ \mapsto φ (a)

sei ein Isomorphismus. Meinst du damit nur, dass es sich hier um eine Bijektion
handelt? Das könnte ich einsehen.

Gruß ermanus

fesiborlin aktiv_icon

23:17 Uhr, 15.03.2018

Hallo,

A l g_{K} (K (a), M)

ist so definiert:
Seien

i : K \to K (a)

und

j : K \to M

zwei Körpererweiterungen von

K

. Ein Körperhomomorphismus

φ : K (a) \to M

mit

φ \circ i = j

heißt Ausdehnung von j auf L und

A l g_{K} (K (a), M)

bezeichnet die Menge solcher Homomorphismen.
Grüße
Fesiborlin

ermanus aktiv_icon

23:34 Uhr, 15.03.2018

Also handelt es sich um eine Bijektion von Mengen und nicht
um einen Isomorphismus:

A l g_{K} (K (a), M)

ist einfach die Menge der Einbettungen von

K (a)

in den Körper

M

. Ich denke weiter darüber nach, wieso aus dieser
Bijektion die angegebenen Surjektivitäten folgen.
Bis morgen
ermanus

ermanus aktiv_icon

11:20 Uhr, 16.03.2018

Hallo,

nun geht es hoffentlich ein Stück weiter:

Die Abbildungen

A l g_{K} (K (a_{1}, \dots, a_{r}), M) \to A l g_{K} (K (a_{1}, \dots, a_{r - 1}), M)

ordnen "offenbar" jedem

K

-Algebrahomomorphismus

φ : K (a_{1}, \dots, a_{r}) \to M

seine Restriktion

φ ∣_{K (a_{1}, \dots, a_{r - 1})}

zu.

Wir betrachten nun als Beispiel das letzte Glied in der als surjektiv zu erweisenden
Restriktionskette:

A l g_{K} (K (a_{1}), M) \to A l g_{K} (K, M) (1)

.

Jeder

K

-Algebrahomomorphismus

φ : K (a_{1}) \to M

geht bei Restriktion auf

K

notwendigerweise in den einzigen

K

-Homorphismus

j : K \to M

über:

φ ∣_{K} = j

.

Um also zu zeigen, dass

(1)

surjektiv ist, reicht es zu zeigen, dass

A l g_{K} (K (a_{1}), M) \neq \emptyset (2)

ist.

Wegen der angegebenen Bijektion ist das äquivalent zu:

{b \in M ∣ m i n_{K} (a_{1}) (b) = 0} \neq \emptyset (3)

.

Fortsetzung folgt ...

ermanus aktiv_icon

14:11 Uhr, 16.03.2018

Die Menge aus

(3)

heiße

B_{0}

.
Da das Minimalpolynom von

a_{1}

nach Voraussetzung in

M [X]

in Linearfaktoren zerfällt,
liegen alle seine Nullstellen in

M

. Da dies mindestens eine ist,
gilt

B_{0} \neq \emptyset

.

Nun wollen wir in unserer Abbildungskette eine Stufe höher steigen:

Es sei

K_{1} = K (a_{1})

j_{1} : K_{1} \to M

eine Ausdehnung von

j

auf

K_{1}

, deren
Existenz wir gerade bewiesen haben. Indem wir

j_{1} : K_{1} \to M

jetzt als
vorgegebene Körpererweiterung auffassen, können wir

j_{1}

auch als

K_{1}

-
Algebrahomomorphismus

K_{1} \to M

ansehen. Dieser ist als

K_{1}

-Algebrahomom.
ex post eindeutig festgelegt.

Wir betrachten nun die Restriktion

A l g_{K_{1}} (K_{1} (a_{2}), M) \to A l g_{K_{1}} (K_{1}, M)

.

Da das Minimalpolynom

m i n_{K_{1}} (a_{2})

M

in Linearfaktoren zerfällt, da dies
ja bereits über

K

der Fall ist, haben wir wieder eine Bijektion der Mengen

A l g_{K_{1}} (K_{1} (a_{2}), M)

und

B_{1} = {b \in M ∣ m i n_{K_{1}} (a_{2}) (b) = 0}

.

Wieder ist

B_{1} \neq \emptyset

, so dass

A l g_{K_{1}} (K_{1} (a_{2}), M) \neq \emptyset

ist.

Daher gibt es einen

K_{1}

-Algebrahomomorphismus

j_{2} : K_{1} (a_{2}) \to M

,
der

j_{1}

auf

K_{1} (a_{2})

ausdehnt.
Ein

K_{1}

-Algebrahomomorphismus ist aber erst recht ein

K

-Algebrahomomorphismus,

usw. usw.

So oder so ähnlich könnte es funktionieren ...

Gruß ermanus

fesiborlin aktiv_icon

14:20 Uhr, 16.03.2018

Vielen Dank! :-)

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