Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kollision zweier Flugzeuge

Kollision zweier Flugzeuge

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Analytische Geometrie, Geraden, Vektoren im Raum

gypsiejl aktiv_icon

16:55 Uhr, 26.09.2023

Hey, ich brauche Hilfe in Mathe. Wir schreiben in 3 Tagen eine LK und ich komme beim Üben nicht weiter.

Die Bahnen zweier Flugbahnen werden als geradlinig angenommen, die Flugzeuge werden als Punkte angesehen. Das 1. Flugzeug bewegt sich von A(0|−50|20) nach

B (0 | 50 | 20)

.

Das 2. Flugzeug nimmt den Kurs von Punkt C(−14|46|32) auf Punkt D(50|−18|0). Eine Einheit entspricht 1 km.

a)

Untersuchen sie ob sich die Flugbahnen der FLugzeuge schneiden.

b)

Das 2. Flugzeug ändert nach der Hälfte der Strecke CD, in dem Punkt

M,

seinen Kurs. Das 2. Flugzeug fliegt nun von

M

aus aus über

T (0 | 25 | 20)

nach D.

Berechnen sie die Länge des durch den neuen Kurs entstandenen Umweges.

c)

Untersuchen sie, ob die beiden Flugzeuge auf dem neuen Kurs zusammenstoßen könnten.

d)

Untersuchen sie, ob es dem 2. Flugzeug gelungen ist, rechtzeitig vor der schmalen Nebelfront, di sich durch die Ebene E:2x−2y−z=20,8 beschreiben lässt, seinen Kurs zu ändern.

Die Teilaufgaben

a), b)

und

c)

konnte ich lösen, nur bei der Teilaufgabe

d)

weiß ich nicht weiter. Mein Ansatz wäre

(2 x; - 2 y; - z)

mit iwas gleichzusetzen oder da iwas einzusetzen.

Ich freue mich über jegliche Hilfe. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Randolph Esser aktiv_icon

18:03 Uhr, 26.09.2023

Gegeben:

C = (\begin{matrix} - 14 \\ 46 \\ 32 \end{matrix}), D = (\begin{matrix} 50 \\ - 18 \\ 0 \end{matrix}), T = (\begin{matrix} 0 \\ 25 \\ 20 \end{matrix}), M = \frac{C + D}{2} = (\begin{matrix} 18 \\ 14 \\ 16 \end{matrix})

und die Nebelfront

{(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in R^{3} : 2 \cdot x - 2 \cdot y - z = 20,8 = \frac{104}{5}},

die allerdings nicht wirklich der ganzen Ebene entspricht,

weil die unmöglich zu umfliegen wäre (siehe Bemerkung unten),

sondern nur einem einem "schmalen" Bereich dieser Ebene zwischen

C

und D.

Flugzeug 2 fliegt drei Teilstrecken, die sich durch die Funktionen

T_{1} : [0,1] \to R^{3}, q \mapsto C + q \cdot (M - C) = (\begin{matrix} - 14 \\ 46 \\ 32 \end{matrix}) + q \cdot (\begin{matrix} 32 \\ - 32 \\ - 16 \end{matrix})

(von

C

nach

M),

T_{2} : [0,1] \to R^{3}, q \mapsto M + q \cdot (T - M) = (\begin{matrix} 18 \\ 14 \\ 16 \end{matrix}) + q \cdot (\begin{matrix} - 18 \\ 11 \\ 4 \end{matrix})

(von

M

nach

T),

T_{3} : [0,1] \to R^{3}, q \mapsto T + q \cdot (D - T) = (\begin{matrix} 0 \\ 25 \\ 20 \end{matrix}) + q \cdot (\begin{matrix} 50 \\ - 43 \\ - 20 \end{matrix})

(von

T

nach

D)

beschreiben lassen.

Um zu erfahren, ob

z . B

T_{1}

die Nebelfront schneidet,

setzt man

T_{1}

in die Nebelfrontgleichung ein und löst nach

q

auf:

\frac{104}{5} = 2 \cdot (- 14 + q \cdot 32) - 2 \cdot (46 - q \cdot 32) - (32 - q \cdot 16)

= - 28 - 92 - 32 + q \cdot (64 + 64 + 16) = - 152 + q \cdot 144

\Leftrightarrow 104 = - 760 + q \cdot 720 \Rightarrow q = \frac{864}{720} = \frac{6}{5} > 1

.

Wäre

q \in [0,1],

würde die Nebelfront geschnitten,

da aber

q > 1,

ist das nicht der Fall.

Wegen der Formulierung der Frage denke ich, dass das nun schon die Antwort liefert:

"Ja, das Flugzeug biegt rechtzeitig vor der schmalen Nebelfront ab."

Bemerkung: An

0 < q = \frac{6}{5} < 2

sieht man auch,

dass die Ebene

C

und

D

tatsächlich "voneinander trennt".

stinlein aktiv_icon

15:08 Uhr, 30.09.2023

Gibt es dazu auch eine gute Skizze? Danke!
Frage: Wie kommst du auf

0,1

bei deinen Ansätzen für

T 1, T 2

und

T 3

?
stinlein

Respon

21:49 Uhr, 30.09.2023

\vec{C D} = (\begin{matrix} 64 \\ - 64 \\ - 32 \end{matrix}) | | (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix})

Das entspricht genau einem Normalvektor der "Nebelebene"

N : 2 \cdot x - 2 \cdot y - z = 20,8

Dadurch lassen sich die Abstände von

C

und

M

zur Ebene leicht bestimmen ( Hessesche Normalform ).
Man erhält für

C

den Abstand

- 57,6

und für

M - 9,6 (

das " - " ist der Position von

C

und

M

zum Koordinatenursprung geschuldet, beide liegen auf der gleichen Seite der Ebene )

\Rightarrow

Das 2. Flugzeug ändert

9,6

km vor der Nebelwand die Richtung nach T.
Für den Abstand von

D

zur Ebene erhält man

+ 38,4, d . h

D

liegt auf der anderen Seite der Nebelwand.

stinlein aktiv_icon

09:12 Uhr, 01.10.2023

Liebe respon!
Allerliebsten Dank für deine große Mühe, die du dir da gemacht hast. Einfach toll diese Skizze! Ich muss mich heute damit intenisiv beschäftigen. Ich komme noch nicht ganz klar. Vielleicht darf ich mich gegen Abend nochmals melden. Gott sei Dank eilt es nicht, ich habe mich einfach für diese Aufgabe interessiert und jetzt sollte ich auch nicht aufgeben.
DANKE! Ich habe mich einfach riesig gefreut, dass DU eingestiegen bist.
Liebste Grüße und einen schönen Sonntag!
stinlein

stinlein aktiv_icon

17:33 Uhr, 01.10.2023

Liebe respon!
Zuerst nochmals danke für diese für mich eindrucksvolle Sizze. Nach langem Hin und Her, ich habe mich leider zwei Mal verrechnet, kam ich auf deine Ergebnisse. Ich muss sagen, die Aufgabe ist sehr anspruchsvoll.
Darf ich noch zu

a)

eine Frage stellen. Untersuchen Sie, ob sich die Flugbahnen der Flugzeuge schneiden. Flug 1: von A nach

B

und Flug 2: von

C

nach D.
Laut deiner Skizze sehe ich, dass sie sich nicht schneiden. Wie mache ich das rechnerisch?
DANKE!
Liebe Grüße
stinlein

Respon

22:56 Uhr, 01.10.2023

a)

A (0 | - 50 | 20)

B (0 | 50 | 20)

C (- 14 | 46 | 32)

D (50 | - 18 | 0)

Der "übliche" Weg: Man ermittelt die Geradengleichungen der Geraden, welche die Strecken

\bar{A B}

bzw.

\bar{C D}

enthalten und überprüft, ob es einen Schnittpunkt gibt.
Richtungsvektoren:

\vec{A B} = (\begin{matrix} 0 \\ 100 \\ 0 \end{matrix}) | | (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

\vec{C D} = (\begin{matrix} 64 \\ - 64 \\ - 32 \end{matrix}) | | (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix})

g_{1} : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ - 50 \\ 20 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

g_{2} : \vec{x} = (\begin{matrix} - 14 \\ 46 \\ 32 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix})

Komponentenweise Gleichsetzung ergibt folgendes LGS:

0 + 0 \cdot r = - 14 + 2 \cdot s

- 50 + 1 \cdot r = 46 - 2 \cdot s

20 + 0 \cdot r = 32 - 1 \cdot s

In diesem sehr einfachen LGS erkennt man sofort den Widerspruch. Die 1. Gleichung liefert

s = 7,

die 3. Gleichung aber

s = 12

.

Alternativ läßt sich diese Aufgabe auch lösen mittels Minimalabstand von - vorerst als windschief angenommenen - Geraden.

( Tippfehler suchen, finden, ausbessern )

stinlein aktiv_icon

08:00 Uhr, 02.10.2023

Liebe respon!
Ich habe es mir so gedacht, konnte es allerdings selber nicht verwirklichen. Danke dir für deine sehr gute, ausführliche und geduldigen Hilfe. Auf bald wieder! Ich gehe jetzt selber and die Arbeit. Auf alle Fälle dir alles Gute weiterhin und noch ein paar schöne Tage!
Falls noch Probleme auftreten sollten, hoffe ich sehr, dass ich mich nochmals dazu melden darf.
stinlein

Randolph Esser aktiv_icon

19:12 Uhr, 02.10.2023

stinlein, gib doch mal eine (affin lineare) Funktion

f : [0,1] \to R

an,

für die

f ([0,1]) = [3,7]

gilt,

und zwar so, dass

f (0) = 7

und

f (1) = 3

gilt,

für die also das Bild der Funktion die Strecke von 7 nach 3

(im

R

-Vektorraum

R)

ist.

Gilt für einen Punkt

p

dieser Strecke

3 p = 5

stinlein aktiv_icon

11:22 Uhr, 03.10.2023

Danke für deine Reaktion, Kartoffelkäfer.
Ich habe aber vorerst noch ein anderes Problem. Ich komme bei der Aufgabe

a)

momentan nicht weiter. Es gelingt mir einfach nicht den Normalvektor auszurechnen.
Der Normalvektor

n

sollte ja

((0, 1,0))

sein.
Irgendwie habe ich mich da vertan. Möchte das noch gerne zuerst lösen, damit ich dann die gesamte Aufgabe lösen kann.
Ich muss noch die Frage klären: Berechnen sie die Länge des durch den neuen Kurs entstandenen Umwegs, also die einzelnen Distanzen berechnen.
Hänge mal meine Rechnung an!
DANKE!
stinlein

Respon

11:47 Uhr, 03.10.2023

Hallo Stinlein !
Du sprichts bei

a)

von einem Normalvektor. Da musst du irgendetwas völlig missverstanden haben.
Der feste Punkt der Geraden ist

(\begin{matrix} 0 \\ - 50 \\ 20 \end{matrix})

und ein Richtungsvektor ist vorerst

(\begin{matrix} 0 \\ 100 \\ 0 \end{matrix})

.
Wenn ich bei einem Richtungsvektor alle Komponenten mit der gleichen Zahl multipliziere oder durch die gleiche Zahl dividiere, so ändert der Vektor zwar seinen Betrag, aber nicht seine Richtung.

(\begin{matrix} 0 \\ 100 \\ 0 \end{matrix}) : 100 = (\begin{matrix} \frac{0}{100} \\ \frac{100}{100} \\ \frac{0}{100} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Also lautet die vereinfachte Geradengleichung

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ - 50 \\ 20 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Bezüglich "Umweg":
Du hast von den Punkten

C, M, D

und

T

die Koordinaten und kannst mit der Abstandsformel die jeweiligen Strecken berechnen.
Der direkte Weg wäre

\bar{C D}

Der Umweg setzt sich zusammen aus

\bar{C M} + \bar{M T} + \bar{T D}

Berechne die einzelnen Längen und vergleiche.
Die jeweiligen Längen wären ( bitte nachrechnen

) :

\bar{C D} = 96

\bar{C M} = 48

\bar{M T} = 21,47

\bar{t D} = 68,91

Respon

12:32 Uhr, 03.10.2023

EDIT: Habe ein paar Rechtschreibfehler ausgebessert.

stinlein aktiv_icon

12:34 Uhr, 03.10.2023

Liebe respon!
Vielen lieben Dank, jetzt ist vieles klarer geworden. Du bist einfach eine sehr gute Hilfe für mich. Ich werde weiter daran arbeiten, sobald ich von der Arbeit zurück bin. Wäre doch gelacht, wenn ich mit deiner Hilfe - diese wohl nicht ganz einfache Aufgabe - auch bewältigen könnte.
Freue mich schon aus Weiterrechnen. DANKE!
stinlein

Respon

12:39 Uhr, 03.10.2023

Ich habe die Formulierung etwas geändert. Ist jetzt klar, warum der vereinfachte Richtungsvektor jetzt

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

ist ?

stinlein aktiv_icon

12:46 Uhr, 03.10.2023

Liebe respon!
Ja, Gott sei Dank ist jetzt alles klar. Ich konnte mein Wissen leider nicht in die Tat umsetzen (Ich wusste das schon mit dem Dividieren oder Multiplizieren des Vektors, tut mir leid, dass ich da schon wieder lästig war. Ich scheiterte immer am Richtungsvektor

(0; 1; 0),

dachte dann das könnte vielleicht der Normalvektor sein (war eine falsche Fährte!) und versuchte den Normalvektor zu errechnen. Jetzt weiß ich, wie er zustande kam. Danke vielmals für deine Unterstützung. Wünsche dir noch einen schönen Nachmittag.
Vielen lieben Dank für die Bekanngabe der Ergebnisse!
Allerbeste Grüße
stinlein

Respon

12:53 Uhr, 03.10.2023

Deseo lo mismo

Randolph Esser aktiv_icon

14:00 Uhr, 03.10.2023

Ich beantworte meine Frage mal selbst

(wovon ich übrigens sowieso ausgegangen bin):

f : [0,1] \to R, q \mapsto 7 + q \cdot (3 - 7) = (1 - q) \cdot 7 + q \cdot 3

wäre eine naheliegende Parametrisierung der Strecke von 7 nach 3.

Für alle

p \in [3,7]

gilt

5 < 3 \cdot 3 = 9 \leq 3 \cdot p \leq 3 \cdot 7 = 21,

also gilt

3 \cdot p \neq 5

für alle

p \in [3,7]

.

Dieses Resultat erhält man auch, wenn man

f

in die Gleichung einsetzt:

3 \cdot (7 + q \cdot (3 - 7)) = 5 \Leftrightarrow 16 = 12 \cdot q \Leftrightarrow q = \frac{4}{3} > 1

.

Nichts anderes habe ich in meinem ersten Beitrag gemacht,

eben nur im

R^{3}

.

So, ich bin raus aus diesem Thread.

Und stinlein, tu mir einen Gefallen:

Frag mich nie wieder irgendwas !

stinlein aktiv_icon

14:43 Uhr, 03.10.2023

Lieber Kartoffelkäfer!
Danke für deine Antwort - ich hätte die Frage einfach nicht beantworten können. Ich war noch mit der Aufgabe

a)

und

c)

beschäftigt. Leider bin ich nicht so schnell - wie du denkst. Ich bin um jede Hilfe dankbar. Bitte sei mir nicht böse!
Ich hoffe, dass der Fragesteller die Aufgabe abschließt sich bei euch für diese gute Hilfe ebenfalls bedankt.
Liebe Grüße trotz allem
stinlein

Respon

23:01 Uhr, 03.10.2023

Teilaufgabe

c)

wurde noch nicht behandelt.
Dass die Flugbahn des 1. Flugzeuges und die ursprüngliche Flugbahn des 2. Flugzeuges einander nicht schneiden wurde schon gezeigt.
Der erste Teil der geänderten Flugbahn des 2. Flugzeuges von

C

nach

M

liegt ja voll in der alten Flugbahn

\Rightarrow

kein Schnittpunkt.
Bei den zwei weiteren Teilflugbahnen könnte man jetzt so vorgehen wie

22 : 56

Uhr,

01.10.2023

mittels Geradengleichungen.
Wegen der sehr einfachen Koordinaten der relevanten Punkte kann man aber auch "auf Verdacht" den Punkt

T = (0 | 25 | 20)

untersuchen.

\vec{T A} = (\begin{matrix} 0 \\ - 50 \\ 20 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 25 \\ 20 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 75 \\ 0 \end{matrix}) | | (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

\vec{T B} = (\begin{matrix} 0 \\ 50 \\ 20 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 25 \\ 20 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 25 \\ 0 \end{matrix}) | | (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

\Rightarrow T

liegt auf der Flugbahn des 1. Flugzeuges.

stinlein aktiv_icon

07:48 Uhr, 04.10.2023

Liebe respon!
Danke vielmals. Da wollte ich eben heute nochmals eine Rückfrage starten. Ich habe mir deine vielen Zeilen zur Teilaufgabe

c)

schon ausgedruckt und werde sie mittags studieren. DANKE!
Inzwischen habe ich die jeweigen Abstände (Längen) nachgerechnet. Stimmen alle mit deinen Ergebnissen überein, außer: Abstand MT

= 21,47

bei dir - ich habe dazu

21,1896 -

also

21,19

erhalten.
Ganz lieben Dank nochmals für deine Unterstützung und liebe Grüße
stinlein

Respon

07:59 Uhr, 04.10.2023

M = (\begin{matrix} 18 \\ 14 \\ 16 \end{matrix})

T = (\begin{matrix} 0 \\ 25 \\ 20 \end{matrix})

\bar{M T} = \sqrt{({(0 - 18)}^{2} + {(25 - 14)}^{2}) + {(20 - 16)}^{2}} = \sqrt{18^{2} + 11^{2} + 4^{2}} = \sqrt{324 + 121 + 16} = \sqrt{461} = 21,4709 . .

stinlein aktiv_icon

10:00 Uhr, 04.10.2023

Liebe respon!
Danke vielmals - habe mich anscheinend bei der Eingabe in den Taschenrechner vertippt.
DANKE und bis auf bald wieder.
stinlein

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1576461

1576240

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?