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Kombinatorik - Alphabet

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Kombinatorische Optimierung

Tags: Kombinatorische Optimierung

Kimmy1 aktiv_icon

12:48 Uhr, 24.11.2018

Hallo,
Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe :

Das Alphabet hat

26

Buchstaben. Wie viele Wörter mit 5 Buchstaben können gebildet werden, wenn kein Buchstabe doppelt vorkommen darf.

Mein Ansatz wäre:

\frac{n!}{k! (n - k)!}

also

\frac{26!}{5! (26 - 5)!}

\to \frac{26!}{5! 21!}

pwmeyer aktiv_icon

12:51 Uhr, 24.11.2018

Hallo,

Du musst überlegen:

- hast Du in Deinem Ansatz berücksichtigt, dass alle Buchstaben verschieden sein sollen?
- hast Du berücksichtigt, dass es bei einem Wort auf die Reihenfolge der Buchstaben ankommt?

Gruß pwm

Kimmy1 aktiv_icon

13:02 Uhr, 24.11.2018

Habe ich das mit den verschiedenen Buchstaben nicht durch

(n - k)

berücksichtigt?
Und die Buchstaben werden zufällig ausgewählt, also müsste die Reihenfolge nicht beachtet werden …
Oder ist das

k!

vor der Klammer im Zähler unnötig? Dann wären es

26

über

21 = 65780

Möglichkeiten

Roman-22

13:21 Uhr, 24.11.2018

>

Und die Buchstaben werden zufällig ausgewählt, also müsste die Reihenfolge nicht beachtet werden

. .

.
Nun, du hast die Reihenfolge zweifelsohne nicht berücksichtigt - aber hättest du das nicht vielleicht doch tun sollen?
Oder sind OPERA, APORE und EROPA für dich ein und dasselbe "Wort", nur weil die gleichen fünf Buchstaben Verwendung finden?

>

Oder ist das

k!

vor der Klammer im Zähler unnötig?
Bingo!

>

Dann wären es

26

über

21 = 65780

Möglichkeiten
Nein, wären es nicht! Der Ausdruck, den du angegeben hast ist doch gleichbedeutend mit

26

über

21

.
Beachte

(\begin{matrix} 26 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 26 \\ 21 \end{matrix}) = \frac{26!}{5! \cdot 21!}

Für 5-buchstabige Wörter gibts aber deutlich mehr Möglichkeiten.

Du kannst es dir ja auch ganz anders überlegen:
Wie viele Möglichkeiten hast du für den Buchstaben, der in deinem Wort ganz am Anfang steht? Wie viele jetzt noch für den zweiten Buchstaben, etc.

Kimmy1 aktiv_icon

13:37 Uhr, 24.11.2018

Danke für deine Antwort, ich versuch es mal mit deinem Ansatz!

Für den ersten Buchstaben gibt es

26

Möglichkeiten, dann

25, 24, 23, 21

.
Also die Formel

n \cdot (n

–

1) \cdot (n

–

2) \cdot ...

\cdot (n

–

s + 1) = \frac{n!}{(n - s)!}

Aber dann bin ich doch wieder bei

\frac{26!}{5! 21!}

oder ?

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13:42 Uhr, 24.11.2018

www.mathebibel.de/variation-ohne-wiederholung

Roman-22

15:41 Uhr, 24.11.2018

>

Für den ersten Buchstaben gibt es

26

Möglichkeiten, dann

25,24,23,21

22,

nicht

21

>Also die Formel n⋅(n – 1)⋅(n – 2)⋅.... ⋅(n – s+1)=n!(n−s)!
Mit dem richtigen

n

und

s,

ja.

>

Aber dann bin ich doch wieder bei

26! 5! 21!

oder ?
Warum denn??
Ist für dich denn kein Unterschied zwischen

\frac{26!}{21!}

und

\frac{26!}{5! \cdot 21!}

?

Deine Aufgabe erlaubt keine Wiederholung (eines Buchstaben) und muss die Reihenfolge berücksichtigen. Es handelt sich daher um einer Variation ohne Wiederholung.

Was du mit

(\begin{matrix} 26 \\ 5 \end{matrix}) = \frac{26!}{5! \cdot 21!}

ständig anbietest ist die Formel für Kombination ohne Wiederholung. Der Unterschied ist, dass es bei Kombinationen nicht auf die Reihenfolge ankommt, bei Variationen aber schon.

Sinnvoller als stur in (womöglich falsche) fertigen Formeln einzusetzen ist es allemal, sich das Ganze einfach selbst zu überlegen und mit

26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 = 7893600

bist du ja sofort beim richtigen Ergebnis.

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