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Kombinatorik Aufgabe aus Buchstaben Wörter bilden

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Aufgabe, Buchstaben, Kombinatorik, Varriation, Widerholung, Wort

vasmer

12:25 Uhr, 25.01.2015

Hi

Warum lautet die Lösung der folgenden Aufgabe:
6 Reihenfolgen;

6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1 = 240

? Was versteht man/ist gemeint mit 6 Reihenfolgen und warum wird das zu

5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1

multipliziert? Könnte man nicht einfach auch die Aufgabe in zwei Teilaufgaben mit Variation ohne Wiederholung teilen und deren Lösungen miteinander addieren, dies ergäbe dann auch

40

.
Aufgabe:
Auf sieben Karten steht je ein Buchstabe des Wortes Problem
Vier der Karten werden zufällig gezogen und nebeneinander gelegt. Wie viele verschiedene Wörter gibt es

a)

nur mit zwei Vokalen und zwei Konsonanten?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

ledum aktiv_icon

00:01 Uhr, 26.01.2015

hallo
um ajs 6 Buchstaben ein Wort zu legen ist dein

6!

die Antwort. um aus 5 Buchstaben Worte zu bilden ist

5!

die Antwort aber nicht auf deine aufgaben, also ist deine Frage recht eigenartig
kannst du sie richtig formulieren?
Gruß ledum

Bummerang

12:09 Uhr, 26.01.2015

Hallo,

ist doch ganz einfach: Das Wort Problem besteht aus zwei Vokalen und 5 Konsonanten. Will man wie in Aufgabe

a)

genau zwei Vokale und genau 2 Konsonanten auswählen, dann hat man für den ersten Konsonanten 5 Möglichkeiten, für den zweiten Konsonanten 4 Möglichkeiten für den ersten Vokal 2 Möglichkeiten und für den zweiten Vokal 1 Möglichkeit. Da hat man wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Auswahlen jetzt schon mal

5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1

Möglichkeiten. Dabei sind verschiedene Reihenfolgen von Buchstaben schon möglich,

z . B

. PROE, RPOE, PREO und RPEO, weil die Konsonanten und Vokale schon in eine Reihenfolge gebracht wurden durch den Vorgang des Ziehens (zuerst gezogen, als zweites gezogen). Was man dabei aber immer fest hat, ist die Reihenfolge der Buchstabenart, denn es ist immer KKVV (steht für Konsonant-Konsonant-Vokal-Vokal). Man könnte die Buchstaben aber auch noch anders anordnen, ohne dabei die Reihenfolge der Konsonanten untereinandewr und der Vokale untereinander zu ändern.

Z . B

. VVKK, dann sind die korrespondierenden Reihenfolgen der gezogenen Buchstaben aus obigem Beispiel OEPR, OERP, EOPR und EORP. Nun sucht man also noch alle Möglichkeiten, die Vokale und Konsonanten anzuordnen und das ist eine Permutation mit Wiederholung. Die Formel dafür ist

\frac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}!}

und das ist hier

\frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6

Möglichkeiten für die Reihenfolge der Buchstabenarten. Zusammen mit den davon unabhängigen Möglichkeiten der Auswahl ergibrt sich

6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3} = \frac{6!}{3} = 240

vasmer

17:42 Uhr, 26.01.2015

Danke

Ich verstehe aber noch nicht ganz warum den die Reihenfolge noch beachtet werden muss.

Wenn man die Aufgabe mit Varriation ohne Wiederholung also der Formel

\frac{n!}{n - k}!

löst und dabei die Aufgabe in zwei Teile einteilt, nämlich die Auswahl der Konsonanten und die Auswahl der Vokale dann erhält man ja:

n_{k} = 5

k_{k} = 3

in Formel eingesetzt erhält man

20

n_{v} = 2

k_{v} = 2

in Formel eingesetzt erhält man 2

und um die Anzahl Möglichkeiten eines Wortes mit 2 Konsonanten und 2 Vokalen zu erhalten kann man nun die beiden Zahlen multiplizieren und erhält

40

.

Ah ist es, so das man noch die Permutation verwendet, da durch diese Rechnugnsvorgehensweise bei der Varriation nur die Reihenfolge der Konsonanten bzw. Vokale untereinander miteingerechntet wird und nicht die Anzahl Möglichkeiten deren Anordnung im entstehenden Wort?

Danke

Bummerang

17:55 Uhr, 26.01.2015

Hallo,

siehst Du es denn nicht selber? Die

5 \cdot 4 \in 5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1

stehen doch für die Variation von 5 Konsonanten, aus denen 2 ausgewählt werden. Und die

2 \cdot 1

stehen für die Variation der Vokale. Und das Produkt aus beidem, ist nun mal

5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1

. Aber Du musst auch die Konsonanten und Vokale als Buchstabenarten vermischen. Die Reihenfolge der Konsonanten bleibt dabei unverändert, nur stehen diese eben mal als Paar am Anfang, mal als Paar am Ende oder in der Mitte und dann gibt es ja noch die 3 Möglichkeiten, dass sie getrennt stehen. Diese Anzahl ist ebenfalls unabhängig davon, welche Konsonanten und Vokale gewählt wurden und wird deshalb noch mit ranmultipliziert:

6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1

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20:12 Uhr, 26.01.2015

Von mir noch ein alternativer Rechenweg:
(vielleicht ja einfacher zu verstehen)

Zunächst berücksichtigen wir noch gar keine Reihenfolgen.
Wir wählen uns aus 5 Konsonanten 2 aus und aus 2 Vokalen ebenfalls 2.
Dafür gibt es

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})

Möglichkeiten.
Diese müssen wir jetzt noch beliebig permutieren:

4!

Möglichkeiten für jede der obigen Buchstabenauswahlen.
Insgesamt:

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) \cdot 4!

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