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Kombinatorik: Möglichkeiten berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Kombinatorik, möglichkeit, Paar, Punkt

 
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flowerpower1234

flowerpower1234 aktiv_icon

09:31 Uhr, 21.10.2013

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Hallo zusammen,

ich bin gerade dabei mir folgende Fragen anzuschauen

a) Wie viele Möglichkeiten gibt es 2n Punkte in Paare einzuteilen, wobei n∈ℕ?
b) Wie viele Möglichkeiten sind es, wenn wir die Reihenfolge in der die Paarung durchgeführt nicht berücksichtigen?

Meine Ansätze

zu a) Da hab ich die Formel n!(n-k)! angewandt.

Es wäre dann n=2n und k=2, also gibt es (2n)!(2n-2)! Möglichkeiten 2n Punkte in Paare einzuteilen.

zu b) Da hab ich die Formel n!(n-k)!⋅k! angewandt, da die Reihenfolge ja nun unberücksichtigt sein soll.

Also haben wir dann (2n)!(2n-2)!⋅2! Möglichkeiten.

Habe ich das so richtig gemacht? Für eine kurze Rückmeldung wäre ich dankbar.

Grüsse flowerpower

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Bummerang

Bummerang

10:16 Uhr, 21.10.2013

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Hallo,

eine Einteilung in Paare entspricht ja nichts anderem, als bei einer Meisterschaft, in der Jeder gegen Jeden spielt, einen ersten Spieltag zu bestimmen. Das gab es vor kurzem hier schon einmal, nur nicht so allgemein, sondern mit 12 Tennisspielern. Die Lösung dort und vor allem der Lösungsweg ist nur zu verallgemeinern.

www.onlinemathe.de/forum/Moegliche-Paarungen-beim-Tennis

Als Ergebnis erhält man dann (2⋅n)!n!⋅2n

Beachtet man die Reihenfolge in den Paarungen (es werden ja Paare, das sind in der Regel geordnete Paare, gesucht), so kann man in jeder Menge von Paaren dem einzelnen Paar die Werte 0 oder 1 zuordnen, die jeweils für eine Reihenfolge stehen. Dann ist jede Möglichkeit einer n langen Ziffernfolge aus 0 und 1 eine andere Paarungsauswahl (unterschieden in der Reihenfolge wenigstens eines Paares) und da diese Ziffernfolge als Binärzahl interpretiert 2n verschiedene Werte annehmen kann, ist die Lösung zu b) dann (2⋅n)!n!⋅2n⋅2n=(2⋅n)!n!.

Wenn man nun noch die Reihenfolge der Paare berücksichtigt, dann muss man den eben errechneten Wert mit n! multiplizieren, da die n Paare in dieser Anzahl in eine andere Reihenfolge gebracht werden können. Das ergibt dann (2⋅n)!n!⋅n!=(2⋅n)!

Das ist auch intuitiv nachvollziehbar, dass man mit allen Anordnungen der Paare und der Anordnung innerhalb der Paare letztendlich jede Anordnung aller Punkte findet, es sich also bei der Anzahl um die selbe wie bei einer Permutation handelt.
flowerpower1234

flowerpower1234 aktiv_icon

10:38 Uhr, 21.10.2013

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Danke erstmal für die Antwort.

Um mir das ganze etwas anschaulicher zu machen, habe ich mir mal den Fall n=2, also für 4 Punkte angesehen. Dazu hab ich mir mal alle Paarungen aufgeschrieben

(1,2);(1,3);(1,4);(2,1);(2,3);(2,4);(3,1);(3,2);(3,4);(4,1);(4,2);(4,3)

Das wären doch 12 verschiedene Paarungen (unter Berücksichtigung der Reihenfolge). Das ergäbe sich auch mit der von mir genannten Formel.

Wenn ich bei deiner Lösung n=2 setze komme ich allerdings auf die Lösung 3.

Wo liegt denn da der Denkfehler bei mir?
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Bummerang

Bummerang

10:55 Uhr, 21.10.2013

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Hallo,

es geht hier nicht um die Anzahl der möglichen Paare, die Du bilden kannst, es geht hier um die Anzahl der möglichen Einteilungen in Paare. Die sich ergebenden Möglichkeiten ohne Reihenfolge der Paare sind:

(1,2),(3,4)
(1,2),(4,3)
(2,1),(3,4)
(2,1),(4,3)

(1,3),(2,4)
(1,3),(4,2)
(3,1),(2,4)
(3,1),(4,2)

(1,4),(2,3)
(1,4),(3,2)
(4,1),(2,3)
(4,1),(3,2)

Das sind 12 mögliche Einteilungen in Paare, die Formel dazu liefert bei mir (2⋅2)!2!=4!2!=242=12.

Betrachtet man jetzt noch die Reihenfolge der Paare, dann gibt es zu jedem der 12 Paareinteilungen genau 2 Möglichkeiten, das sind dann 24 Möglichkeiten und diese sind natürlich gleich (2⋅2)!=4!=24.

Zusätzlich dazu, dass Du die Aufgabenstellung nicht korrekt verstanden hast, hast Du Dich ganz offensichtlich bei meiner Formel verrechnet!

EDIT:
Wo man tatsächlich 3 erhält, das ist bei der Anwendung der aus dem Tennis-Thread entnommenen Formel. Die Lösung aus dieser Formel entspricht der Anzahl der Blöcke in meiner Darstellung. Allerdings ist diese Formel nicht die Lösung für den Aufgabenteil b), sondern die Lösung für diesen Teil steht explizit als Lösung für b) gekennzeichnet weiter unten. Die letzte Formel ergibt dann die Lösung für den Teil a), warum auch sonst habe ich an der zweiten Formel nicht aufgehört..
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