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Kombinatorik / Urne mit Kugeln

Schüler Technische u. gewerbliche mittlere u. höhere Schulen, 10. Klassenstufe

Tags: 3 verschiedene Farben

zeroman0 aktiv_icon

21:03 Uhr, 30.10.2012

Hallo!
Es geht hier um dieses Beispiel:

In einer Urne befinden sich zwei rote, zwei schwarze und zwei blaue Kugeln. Es werden nacheinander drei Kugeln

a

. mit Zurücklegen

b

. ohne Zurücklegen gezogen.
Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:

A :

"von jeder Farbe eine Kugel"

B :

"keine rote Kugel"

C :

"genau die ersten beiden Male rot"

Mit kommt das Beispiel ziemlich leicht vor. Ist es natürlich auch. Aber ich weiß nicht wieso ich nicht auf das richtige Ergebnis komme.
Ich glaube mir fehlt hier der Durchblick. Wie geht man so ein Bespiel an? Ich will das Beispiel verstehen, wieso ich die Formeln genau so verwende und nicht anders.
Kann mir das jemand erklären, indem er mir das Beispiel hier "vorzeigt" mit "Gedanken".

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

vulpi aktiv_icon

21:43 Uhr, 30.10.2012

Hi, ich nehm' mal exemplarisch

a . A

. , vllt. kannste ja was mit meiner Vorgehensweise anfangen.

1 .)

Berechnung eines konkreten Pfades

Z . B . :

R - S - B

Die jeweiligen Einzel-Wkt. müßten klar sein, jeweils

\frac{1}{3}

Ergo:

p (R - S - B) = {(\frac{1}{3})}^{3}

2 .)

Zählen aller Pfade
Welche Wege gibt es für den bunten mix ?
Nun,

R, B, S

in beliebiger Folge
Ergo:

3!

Jeder Pfad hat die gleiche Wkt, da die Sache ja symmetrisch arrangiert ist.

Also ist die Wkt für den bunten Mix

p ({R, B, S}) = 3! \cdot {(\frac{1}{3})}^{3}

Die anderen Beispiele aus dem sog. Beispiel versuch jetzt mal selber....

lg

zeroman0 aktiv_icon

22:08 Uhr, 30.10.2012

zu deinem

1 .)

Das hab ich auch so gemacht. Leider steht hier als Lösung

22 %,

was eher zu deinem zweiten Beispiel unten passen könnte, da

3! {(\frac{1}{3})}^{3} = 22,22 %

ist.

Ist ja nicht so dass ich Wahrscheinlichkeitsrechnungen nicht verstehe. Kann sein dass ich bei solchen Beispielen einfach zu kompliziert nachdenke.

Kannst da hier weiterhelfen?

grüße

Ma-Ma aktiv_icon

23:26 Uhr, 30.10.2012

Ich kannn die Vorgehensweise von vulpi und das Ergebnis

22 %

bestätigen !
Vulpi hat

A)

mit zurücklegen berechnet.

Capricorn-01 aktiv_icon

07:22 Uhr, 31.10.2012

Bei

a)

Fall

B

sind es

{(\frac{2}{3})}^{3}

a)

Fall

C

verstehe ich so, dass beim dritten Mal nicht mehr rot gezogen werden darf.
Das ergibt

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3^{3}}

Bei

b)

werden jeweils 3 Kugeln von 6 ohne Zurücklegen gezogen: das sind

(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})

Kombinationen.
bei Fall

A : \frac{{(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})}^{3}}{(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})}

bei Fall

B :

Ich ziehe von den 2 schwarzen plus 2 blauen drei Kugeln:

\frac{(\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})}

Fall

C :

Die Wahrscheinlichkeit, beim 1. Mal rot zu ziehen, ist

\frac{1}{3}

.
Dann hat es noch 1 rote, 2 blaue und zwei schwarze. Die Wahrscheinlichkeit, beim 2. Versuch die letzte rote zu ziehen, ist

\frac{1}{5}

. Beim 3. Mal hat es nur noch blaue und schwarze. Das ergibt insgesamt

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5}

anonymous

12:52 Uhr, 31.10.2012

Hallo
Darf ich versuchen, die zielführenden Gedanken mal in Worte zu fassen.

Aufgabe aA:
1.
Ziehen wir gedanklich erst mal die erste Kugel.
Ich halte irgend eine Farbe in der Hand.
Ist bisher etwas passiert, das "von jeder Farbe eine Kugel" widerspräche?
Nein, es ist noch nichts passiert. Egal welche Farbe ich gezogen habe, es kann weiter gehen.

D . h

. die Wahrscheinlichkeit, dass ich noch gültig unterwegs bin, ist

p_{1} = 1

2.
Ziehen wir gedanklich mal die zweite Kugel.
Jetzt gilt es zu unterscheiden!

>

Wenn ich zufällig wieder die gleiche Farbe wie beim ersten Zug ziehe, kann ich die Forderung "von jeder Farbe eine Kugel" nicht mehr erfüllen.

>

Wenn ich zufällig eine andere Farbe wie beim ersten Zug ziehe, kann ich die Forderung "von jeder Farbe eine Kugel" noch erfüllen.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit hierfür.
Nun, es sind 6 Kugeln in der Urne.
Davon 2 Kugeln mit der gleichen Farbe, wie beim ersten Zug.
Und 4 Kugeln mit einer anderen Farbe, wie beim ersten Zug.
Die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Zug eine gültige Farbe zu ziehen ist folglich

p_{2} = \frac{4}{6}

Die Wahrscheinlichkeit, nach dem zweiten Zug noch gültig unterwegs zu sein, folglich:

p = p_{1} \cdot p_{2} = 1 \cdot \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

3.
Ziehen wir gedanklich mal die dritte Kugel.
Es gilt weiter zu unterscheiden:

>

Wenn ich zufällig eine Farbe ziehe, die bei den ersten beiden Zügen gezogen war, so kann ich die Forderung "von jeder Farbe eine Kugel" nicht mehr erfüllen.

>

wenn ich zufällig eine Farbe ziehe, die bei den ersten beiden Zügen noch nicht gezogen wurde, so ist die Forderung "von jeder Farbe eine Kugel" erfüllt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit hierfür?
Nun, es sind 6 Kugeln in der Urne.
Davon 4 Kugeln mit Farben, die schon mal gezogen wurden.
Und 2 Kugeln mit der Farbe, die noch nicht gezogen wurde.
Die Wahrscheinlichkeit, beim dritten Zug eine gültige Farbe zu ziehen ist folglich

p_{3} = \frac{2}{6}

Die Wahrscheinlichkeit, nach dem dritten Zug noch gültig unterwegs zu sein (die Forderung zu erfüllen), folglich:

p = p_{1} \cdot p_{2} \cdot p_{3} = 1 \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} = 22.222 %

- - - - - - - - - - -

Alle anderen Teilaufgaben lassen sich nach dem gleichen Schema lösen.
Viel Erfolg!

zeroman0 aktiv_icon

13:35 Uhr, 31.10.2012

Danke euch! Ich werde versuchen, das Beispiel jetzt alleine zu lösen.
Eins würde ich dennoch gerne wissen cube2.
Wie würde ich dies mit Binomialkoeffizienten lösen?

Grüße

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