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Kombinatorikaufgaben
Schüler Gesamtschule,
Tags: Kombinatorik, Sachaufgaben
 
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Aufgabe1: aus den Buchstaben des alphabets werden nacheinander blind drei buchstaben mit zurücklegen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dreimal denselben Buchstaben zu ziehen?. aufgabe2: 6 Lose mit nummern 1 bis 6 ein spieler zieht nacheinander 3 lose. Zieht er in der reihenfolge und 6 dann hat er gewonne. Berechne die wahrscheinlichkeit. aufgabe3: zehnerpackung glüphlampen enthält 4 defekte lampen. Kunde kauf fünf ohne prüfen. Wie groß ist die wahrscheinlichkeit, das genau zwei der gekauften defekt sind? Ich weiß nicht, welche der drei Kombinatorik formeln ich wo anwenden muss und wie.. ? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Gemischte Aufgaben der Kombinatorik Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen |
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Keine Garantie, dass es stimmt! Ich kürze Möglichkeiten mit MK ab. Wahrscheinlichkeit mit WK Aufgabe1: aus den 26 Buchstaben des alphabets werden nacheinander blind drei buchstaben mit zurücklegen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dreimal denselben Buchstaben zu ziehen?. Alphabet={A,B,C,...,X,Y,Z} Annahme: Jeder Buchstabe hat die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden. Dann haben wir ein Laplace Experiment. P(x)=1/26, wobei x aus {A,...,Z} ist. Das Problem ist hier, dass man nicht weiß, ob die Reihenfolge wichtig ist oder nicht. Ist also ABC=BCA? oder gilt dies nicht. 1. Fall: Mit beachtung der Reihenfolge. Wir können die Buchstaben ja in einen 3-er Kasten schreiben [][][] Für jeden Kasten haben wir 26 Möglichkeiten, weil wir mit zurücklegen ziehen. Also haben wir 26*26*26 MK's also 26³. Jetzt brauchen wir die MK's für die gleichen Buchstaben, wie AAA,BBB,CCC,... Betrachten wieder den 3-er Kasten.[][][] Es gibt 26 MK's. Die WK 3 mal denselben Buchstaben zu ziehen ist also 26/26³=1/26² 2. Fall: Reihenfolge egal. Also ABC=BAC Wir benutzen den Binomialkoeffizient. Ich nehme n über k. n=alle Buchstaben k = die 3 gezogenen. Alle MK's sind dann 26 über 3 = 2600 Die günstigen MK's haben wir schon berechnet. Das waren 26. Lösung hier: 26/2600=1/100 aufgabe2: 6 Lose mit nummern 1 bis 6 ein spieler zieht nacheinander 3 lose. Zieht er in der reihenfolge 2,4 und 6 dann hat er gewonne. Berechne die wahrscheinlichkeit. Die Lose lauten {1,2,3,4,5,6} Da hier steht "Zieht er in der Reihenfolge 2,4,6" wird die Reihenfolge wichtig sein, denn 246 nicht gleich 624. Nur 246 gewinnt! Lose werden auch ohne zurücklegen gezogen. Wir haben wieder einen 3-er kasten [][][] . Wie viele MK's gibt es? Für den 1. Kasten 6 Für den 2. Kasten 5 Für den 3. Kasten 4 Weil ja immer ein Los weniger in der Trommel ist. Also lauten alle MK's 6*5*4=120 Und da wir nur eine günstige Möglichkeit haben, ist die Lösung 1/120. aufgabe3: zehnerpackung glüphlampen enthält 4 defekte lampen. Kunde kauf fünf ohne prüfen. Wie groß ist die wahrscheinlichkeit, das genau zwei der gekauften defekt sind? Dafür gibt es eine Lösungsformel, die werdet Ihr aber in der 8. bzw. 9. Klasse kaum kennen. Also per Fuß: 10 Lampen: LLLLLLLLLL 4 sind defekt. Eine MK wäre DDDDLLLLLL. Kunde kauft 5, wovon 2 defekt sind. z.B. LDLLD Die Wahrscheinlichkeit aus den 10 Lampen eine ganze Lampe zu ziehen ist 6/10. Für eine defekte ist sie 4/10 Das kann man mit einem Baumdiagramm lösen. Beachte, dass sich pro Ast die WK's verändern. Du betrachtest im Baum nur die Pfade mit 3 ganzen lampen und 2 defekten. Du mußt dann 5!/(2*3!)=10 Pfade betrachten Es gibt aber ein Schema. Zeichne Dir mal den Baum mir 3 Ebenen auf, bzw. dass ein Pfad aus 3 Ästen besteht. Und dann betrachtest Du die WK's für 3 ganze und eine defekte. DDG Davon gibt es 3!/2!=3 Pfade. Die WK beträgt für jeden Pfad Da wir 3 Pfade haben rechnen wir: ++=3* Vielleicht können wir bei unserem Baum mit 5 Ebenen so rechnen: Das finde aber selber heraus.... DIN A4 Blatt nehmen Baum aufmalen und nachprüfen. |
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Hallo, zu Hier ist es doch so, dass bei einem Versuch ABC gezogen werden kann, beim nächsten BCA oder CBA. Damit ist wohl klar, dass eine Buchstaben-3-Kombination Buchstaben ohne Beachtung der Reihenfolge) häufiger gezogen wird als eine Kombination aus nur einem uchstaben. Ein Laplace-Experiment kann es also nur dann sein, wenn man die Reihenfolge beachtet. Als Beispiel, dass man das auch tun muss, soll mal das Würfeln mit 2 Würfeln dienen. Das ist ja wie zweimaliges Ziehen mit zurücklegen. Dass dabei die Augensumme auftritt ist jedem spontan klar. Und die Augensumme ist mit auch klar. Auch hier wird deutlich, dass man für gleiche Wahrscheinlichkeiten unbedingt die Beachtung der Reihenfolge braucht, die bei der Augensumme verlorengeht, weil die Addition kommutativ ist, die Reihenfolge der Summanden dementsprechend egal ist! Eine Fallunterscheidung ist bei dieser Aufgabe nicht notwendig! zu Hier fehlt die Angabe, zurückgelegt wird oder nicht, weshalb eine Fallunterscheidung ntwendig ist. Einfach zu behaupten, es werde "auch ohne zurücklegen gezogen" (Wieso "auch"? Worauf bezieht sich dieses "auch"? Auf die Aufgabe 1? Dort war ja mit zurücklegen gezogen worden!), geht da nicht! zu Hier muss man aus den ganzen Glühlampen genau zwei auswählen, wobei hier nicht zurückgelegt wird und die Reihenfolge der gezogenen Glühlampen egal ist. Ausserdem mus man genau zwei Glühlampen aus den defekten Auswählen, ebenfalls ohne Beachtung der Reiehenfolge. Beide Auswahlen sind unabhängig voneinander, da eine bestimmte Auswahl von ganzen Glühlampen keinerlei Einfluss auf die Auswahl der defekten Glühlampen hat und umgekehrt! Deshalb multiplizieren sich beide Möglichkeiten zu den günstigen Möglichkeiten. Und alle Möglichkeiten ergeben sich aus der Anzahl der Möglichkeiten 4 Glühlampen aus Glühlampen beliebig (ohne zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge) auszuwählen! |
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