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Kommutativität im Vektorraum

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Kommutativität, Körper, Vektorraum

NewComer8

19:48 Uhr, 08.07.2018

Hi,

beim Vorbereiten auf die Klausur haben sich bei mir zwei Fragen ergeben.

1.Mir ist aufgefallen, dass wir in der Vorlesung schon seit geraumer Zeit folgenden Schritt machen, ohne diesen(zumindest schriftlich) bewiesen zu haben:
Seien

K

ein (kommutativer) Körper,

V

ein K-VR,

x

,yEV und aEK. Dann gilt: x*ay=ax*y
Warum kann man das Körperelement also einfach vor den ersten Vektor schreiben? Das würde je bedeuten, dass die Skalarmultiplikation kommutativ ist, oder?

2.Seien ohne zugehörigen Körper die Vektorräume

R^{2}

und

C^{2}

gegeben. Kann man dann davon ausgehen, dass

R^{2}

ein R-VR und

C^{2}

ein C-VR ist oder muss man dann von einem allgemeinen Körper ausgehen?

MfG Newcomer

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

ledum aktiv_icon

22:08 Uhr, 08.07.2018

Hallo
die Skalarmultiplikation ist kommutativ! wenn du damit

< x, y >

meinst aber das ist für xay=axy unwichtig. die Mult, mit Skalar ist es per Def.
2.

ℝ^{2}

gibt immer den reellen

2 d

euklidischen VR, wobei RR°2 die Kurzform von

ℝ \times ℝ

ist, entsprechen

ℂ^{2}

Gruß ledum

NewComer8

09:09 Uhr, 10.07.2018

1 . :

Mit Skalarmultiplikation meinte ich nicht das Skalarprodukt, sondern die im Vektorraum definierte äußere Verknüpfung eines Vektors mit einem Skalar. Könntet ihr eure Antwort also bitte nochmal darauf beziehen?

Zu

2 . :

Sorry, aber was ist ein reeller

2 d

euklidischer Vekorraum? Mit euklidischen Skalarprodukten haben wir schon gearbeitet, aber von einem euklischen Vektorraum war bei uns noch nie explizit die Rede.

Respon

09:19 Uhr, 10.07.2018

Man nennt jeden reellen Vektorraum mit Skalaprodukt einen euklidischen Vektorraum.
(siehe Definition )

ermanus aktiv_icon

15:47 Uhr, 10.07.2018

Hallo,
so kann man deine Fragestellung nicht verstehen.
Du musst uns schon sagen, was der "

*

" in deiner Gleichung

x * a y = a x * y

bedeuten soll; denn offenbar werden hier doch Vektoren miteinander
"multipliziert". Dass man dann Skalare (

a

) an den "Faktoren" vorbeischieben
kann, ist doch erst begründbar, wenn man weiß, was "

*

" bedeuten soll.

Gruß ermanus

NewComer8

13:43 Uhr, 11.07.2018

Sorry, ich hätte

X

und

Y

besser groß schreiben sollen. Mit

\cdot

meine ich die Matrizenmultiplikation.

X

und

Y

sind also Matrizen.
Meine Problem bezieht sich also auf die Gültigkeit von:

X \cdot a Y = a X \cdot Y

(Hinweis: mein Sternchen ist im Smartphone zu einem Punkt geworden)

ermanus aktiv_icon

13:28 Uhr, 12.07.2018

Sei

X = (x_{i j})

eine

m \times n

- und

Y = (y_{i j})

eine

n \times r

-Matrix.

Wir betrachten den Eintrag in der Position

(i, j)

:

linke Seite:

\sum_{k = 1}^{n} x_{i k} (a y_{k j})

rechte Seite:

\sum_{k = 1}^{n} (a x_{i k}) y_{k j}

.
Wegen der Kommutativität und Assoziativität im Körper sind beide Werte gleich,
nämlich

= a \sum_{k = 1}^{n} x_{i k} y_{k j}

wegen der Distributivität.

NewComer8

11:56 Uhr, 13.07.2018

Danke. Ist natürlich super simpel. Bis gerade eben hatte ich nur leider den Denkfehler, dass ich dachte, dass die Skalare auch aus einem anderen Körper als dem der Matrizeneinträge kommen könnten. Aber dann wäre es schließlich kein Vektorraum mehr.

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