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Kompakt=Abgeschlossen+beschränkt

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Sonstiges

Tags: Abgeschlossenheit, kompaktheit, Offenheit

Eleonora71 aktiv_icon

16:35 Uhr, 19.04.2015

Hey Leute so ein wunderbarer Tag und ich muss lernen

\frac{:}{}

nun ja von nichts kommt nichts. Alle die hier jetzt und später anderen helfen Hut ab und vielen Dank für die großartige Hilfe und Opferung der Zeit!

Ich beschäftige mich mit Abgeschlossenheit und Offenheit, also der Kompaktheit.

Ich versuche erstmal ohne Definitionen meine Aufgabe zu lösen. Welche der nachfolgenden Mengen

M

sind abgeschlossen, beschränkt oder sogar kompakt?
Begründen Sie ihre Behauptungen anhand einer Skizze.

Ich begründe mal mündlich und am Ende mache ich die Skizzen.

a) M := (2 | \infty]

b) M := (- 1 | 2] \cup [0 | 3]

c) M := (1 | 3] \cap (2 | \infty]

d) M := K (0,1)

e) M := B (0,1)

f) M := ℂ \ {0}

g) M := {ℂ \ {0} | | z | < 2 \land | a r g (z) | \leq \frac{π}{2}}

Also bei

a)

ist es meiner Meinung nach nicht kompakt. Es ist beschränkt, aber nicht abgeschlossen.

Bei

b)

ist es doch genauso. Wenn ich die Intervalle vereinige, dann erhalte ich doch sowas wie

(- 1 | 3]

also es ist wieder beschränkt, aber nicht abgeschlossen, somit nicht kompakt.

c)

ist für mich schwer zu sagen und zu argumentieren. Jedenfalls ist in meinen Augen der Durchschnitt nach rechts hin abgeschlossen und beschränkt also

... | 3]

und eig ist alles was zwischen 2 und 3 ist auch in der Menge. Ich würde daher es "so aufassen":

[2 | 3]

also kompakt?

Bei

d)

und

e)

ist mir der Unterschied nicht klar? Was soll das

B, K

bedeuten? Es ist doch jeweils ein Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius 1?

Also in meinen Augen kompakt?

f)

Ist abgeschlossen, aber nicht beschränkt, da

ℂ

keine Grenze hat, also nicht kompakt?

g)

ist schwer für mich. Etwas kleiner zwei ist für mich abgeschlossen, aber nicht beschränkt. Aber da fehlt mir die Vorstellungskraft.

Komplexe Zahlen ohne die Null, für die gilt der Betrag von

z

ist kleiner 2 und der Betrag des Arguments ist kleiner gleich 90°. Intuitiv würde ich sagen es ist nicht kompakt, aber ich weiß nicht wie ich es argumentieren soll?

Ich würde einen Viertelkreis zeichnen mit Radius

< 2,

also es ist abgeschlossen, aber nicht beschränkt?

Ich danke ehrlich allen die mir helfen von Herzen!

Elena

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

18:17 Uhr, 19.04.2015

"Ich beschäftige mich mit Abgeschlossenheit und Offenheit, also der Kompaktheit."

Das ist schon mal total falsch. Kompakte sind abgeschlossen, nicht offen.

a), b) sind richtig

Bei c) liegst Du falsch, denn zwar ist natürlich

[2, 3]

kompakt, Du hast aber

(2, 3]

.

"Was soll das B,K bedeuten?"

Woher sollen wir das wissen? :-O

Bei f) liegst Du wieder falsch, denn diese Menge ist unbeschränkt und nicht abgeschlossen, was Du aber damit meinst: "Ist abgeschlossen, aber nicht beschränkt, da ℂ keine Grenze hat, also nicht kompakt?", weiß ich nicht, Beschränktheit hat gar nichts mit der Grenze zu tun. Prüfe bitte die Definitionen.

Und bei g) bist Du wieder im Unrecht. Denn das: "Etwas kleiner zwei ist für mich abgeschlossen"
stimmt nicht.

{z : ∣ z ∣ < 2}

ist z.B. offen.

Eleonora71 aktiv_icon

18:36 Uhr, 19.04.2015

Sorry manchmal schreibe ich was anderes auf, als ich denke.

Kompaktheit ist natürlich Beschränktheit und Abgeschlossenheit.

Wie kann man bei der

c)

dann argumentieren?

Der Durchschnitt einer kompakten und einer nicht kompakten Menge/Intervall ist nicht kompakt? Gibt es da Sätze/Regeln. In der Vorlesungen hatten wir jetzt keine. Wobei wenn ich jetzt hätte

[1 | 3] \cap [2 | \infty)

das wäre ja Kompakt, weil der Durchschnitt ja

[1 | 3]

wäre?

Ja ich weiß auch nicht ich kenne nur das

K (0,1)

für Mittelpunkt, Radius.

Ich denke, dass es also so gemeint ist:

B (a, r) := {z \in ℂ | | z - a | < r}

(also die Kreisscheibe)

Nun ich habe mir natürlich die Definitionen angeguckt, habe aber nicht ganz den Durchblick dabei

: (

Ich poste gleich die Definitionen.

DrBoogie aktiv_icon

19:00 Uhr, 19.04.2015

"Wie kann man bei der c) dann argumentieren?"

Nicht abgeschlossen.

"Der Durchschnitt einer kompakten und einer nicht kompakten Menge/Intervall ist nicht kompakt?"

Ist alles Mögliche, man muss die Menge konkret ansehen.
In diesem Fall ist es

(2, 3]

, was offensichtlich nicht abgeschlossen ist, weil Abschluss von

(2, 3]

gleich

[2, 3]

ist.

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