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Komplexe Eigenwerte und Eigenvektoren

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenvektor, Eigenwert

Copex aktiv_icon

10:31 Uhr, 15.03.2018

Hallo,

ich habe erneut eine Frage zu der Lösungsmenge eines Gleichungssystems mit einem freien Parameter.

Zur Erklärung:

Die zur Matrix

A = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})

gehörenden Eigenwerte habe ich mit

2 \pm i

bestimmt.
Das Gleichungssystem

(A - (2 + i) E) = (\begin{matrix} 2 - (2 + i) & - 1 \\ 1 & 2 - (2 + i) \end{matrix})

wird in ein Gleichungssystem "umgeschrieben" um den Kern und somit die Eigenvektoren zu bestimmen:

- i x_{1} - x_{2} = 0

1 x_{1} - i x_{2} = 0 | \cdot i

- i x_{1} - x_{2} = 0 |

zweite Gleichung

+

erste Gleichung

i x_{1} + 1 x_{2} = 0

0 + 0 = 0

i x_{1} + 1 x_{2} = 0 \mapsto

einen freien Parameter wählen

x_{2} = - i x_{1} | x_{1} = t

x_{2} = - i t

x = (\begin{matrix} t \\ - i t \end{matrix})

Nun zu meiner Frage:

Ist dieser Weg richtig?

Die Musterlösung für diese Aufgabe kommt im letzten schritt der Umformung auf

1 x_{1} - i x_{2} = 0

0 + 0 = 0

x_{1} = i x_{2}

x 2 = t, x 1 = i t

und somit auf

x = (\begin{matrix} i t \\ t \end{matrix})

Ist meine Lösung auch eine richtige Lösung?
Zusätzlich fällt mich auf, dass diese Vektoren orthogonal aufeinander stehen, kann man daraus irgendetwas schließen?

Viele Grüße,

Copex

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

korbinian aktiv_icon

11:01 Uhr, 15.03.2018

Hallo,
ja , deine Lösung ist auch ok. Multipliziere die Musterlösung mit -i, und du erhältst deine Lösung.

(Du darfst nicht das reelle Skalarprudukt auf komplexe Vektoren anwenden)

Gruß korbinian

Copex aktiv_icon

11:25 Uhr, 15.03.2018

Okay, vielen Dank!

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