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Komplexe Gleichung lösen mit Probe.

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Komplexe Zahlen

Komplexe Analysis

Tags: kartesische koordinaten, Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen, Probe, Uni

TheJacks aktiv_icon

13:24 Uhr, 28.04.2016

A 1)

Lösen Sie

z^{2}

+iz

+ 6 = 0

und verifizieren Sie ihre Lösung mit einer Probe.

Muss man das hier mit der PQ-Formel berechnen und dann? Wie mache ich dann die Probe ?

A 2)

Geben Sie die Lösungen von

{(z - (1 + i))}^{3} = - 8 i

in kartesischem Koordinaten an.

Danke für eure Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

13:37 Uhr, 28.04.2016

Hallo
ja, pq Formel oder quadratische Ergänzung. die 2 Ergebnisse jeweils in die Gleichung einsetzen und bestätigen, dass 0 rauskommt

A 2

die 3 te Wurzel aus

- 8 i

finden, davon gibt es

3,

die kannst du da man root(3)(8)=2 rausziehen dann einfach

\sqrt[3]{- i}

bestimmen
entweder am Einheitskreis einzeichnen und ablesen oder

- i = e^{i \cdot (π + 2 k \cdot π)}

benutzen und am Ende wieder in a+ib verwandeln.
Gruß ledum

TheJacks aktiv_icon

15:49 Uhr, 29.04.2016

Vielen Dank für deine Antwort. Aufgabe 1 habe ich hinbekommen, bei der 2. Aufgabe habe ich noch meine
Schwierigkeiten

ledum aktiv_icon

16:36 Uhr, 29.04.2016

wo liegen denn die Schwierigkeiten? sag, wie weit du gekommen bist,
Gruß ledum

TheJacks aktiv_icon

14:06 Uhr, 01.05.2016

Tut mir leid für die Verzögerung.
Ich benötige doch die Form

: z = r \cdot e^{i + Φ}, r

habe ich mit

\sqrt{2}

Bei

- 8 i

hätte ich doch

Φ =

(3pi/2)

Und wie viel addiere ich bei

z 1 + z 2

dazu ?

MfG

Roman-22

14:25 Uhr, 01.05.2016

>

Ich benötige doch die Form :z=r⋅ei+Φ,r habe ich mit 2
Kommt drauf an, von welchem

z

und von welchen

r

du sprichst. Aber vermutlich ist

\sqrt{2}

falsch.

>

Bei

- 8 i

hätte ich doch Φ= (3pi/2)
Wenn du das Argument

φ = a r g (- 8 i) = \frac{3 π}{2}

meinst, dann ist das richtig. Du kannst aber nach Belieben auch mit

φ = - \frac{π}{2}

rechnen, wenn dir das lieber ist.

>

Und wie viel addiere ich bei

z 1 + z 2

dazu ?
??????????????
Du hast eine sehr kreative Art zu fragen.
Was sollen denn

z 1

und

z 2

sein, warum addierst du die beiden und warum möchtest du noch etwas dazu addieren??

Ich schlage vor, dass du dir ein wenig die Möglichkeit des Formelsatzes hier ansiehst und du dann deine komplette Rechnung hier vorstellst, soweit du sie schon hast. Dann haben wir auch eine Chance, zu sehen, worauf sich deine Fragen beziehen.

R

TheJacks aktiv_icon

14:44 Uhr, 01.05.2016

r

ist doch der Betrag. Dieser wäre

\sqrt{8},

welches

2 \sqrt{2}

entspricht.

Die

3 \sqrt{2 \sqrt{2}}

wäre dann

\sqrt{2}

Ledum meinte ja auch es gibt die 3-te Wurzel 3 mal.

z 0

wäre meiner Meinung nach doch:

= \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot 3 \cdot \frac{π}{2}}

z 1 = \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot 3 \cdot \frac{π}{2}} +

???

z 2 = \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot 3 \cdot \frac{π}{2}} +

???

MfG

rundblick aktiv_icon

15:05 Uhr, 01.05.2016

.
"

r

ist doch der Betrag. Dieser wäre sqrt(8)"... NEIN

\to

der Betrag von

- 8 i

ist

\to 8 .

. NICHT

\sqrt{8}

\to

und der zu

- 8 i

gehörende Winkel ist 270° .. , dh

φ = \frac{3}{2} π + 2 k \cdot π

{(z - (1 + i))}^{3} = - 8 i

und der Betrag von

z - (1 + i)

ist dann

\to 2

und die mögtlichen Winkel sind für

\to z_{k} - (1 + i)

sind:

\frac{\frac{3}{2} π + 2 k π}{3} . .

. für

k = 0,1,2

also:

\Rightarrow z_{k} = i + 1 + 2 \cdot e^{i \cdot \frac{\frac{3}{2} π + 2 k π}{3}} ...

. für

k = 0.1.2

schreib das nun noch in Normalform auf :

\to . .

.
.

TheJacks aktiv_icon

15:23 Uhr, 01.05.2016

Vielen Dank Rundblick,

wirklich sehr verständlich aufgeschrieben.

Betrag muss natürlich 8 sein, hab das Quadrat vergessen gehabt.

Die zk

(k = 0,1,2)

kann ich nun berechnen. Danke.

Eine Frage habe ich noch: Wird grundsätzlich immer

2 k \cdot π,

dazu addiert oder wie
ist das genau ?

MfG

rundblick aktiv_icon

16:18 Uhr, 01.05.2016

.
"Eine Frage habe ich noch: Wird grundsätzlich immer 2k⋅π, dazu addiert
oder wie ist das genau ?

\to

ja .. immer wenn "n-te Wurzeln" zu ermitteln sind ..

da wird ja dann der Grundwinkel

φ +

2k⋅π durch

n

geteilt
und alle Werte die dann in

[0;

2⋅π ) liegen, liefern die

n

verschiedenen Lösungen , die es geben wird ..

ok?

ach ja: hast du denn jetzt die drei Lösungen in Normalform ?

\to . .

.

und noch eine kleine Anmerkung zu

\to A 1)

Lösen Sie

z^{2} + i z + 6 = 0

löse:

{(z + \frac{i}{2})}^{2} = - \frac{25}{4}

\Rightarrow z_{k} = - \frac{i}{2} + \frac{5}{2} \cdot [c o s (90

+ k \cdot 180

) + i \cdot s i n (90

+ k \cdot 180

)] . .

. für

k = 0, 1

\Rightarrow ...

.
.

TheJacks aktiv_icon

18:51 Uhr, 01.05.2016

Ja, hast echt super erklärt und habe es nun verstanden. Echt Top Danke!

TheJacks aktiv_icon

18:52 Uhr, 01.05.2016

Ja, habe nun alle Aufgaben. Es gut erklärt, habe alles verstanden.
Danke.

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