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Komplexe Intgral über Halbkreis

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Cauchy, harmonisch, holomorph, Integration, Komplex

RehcaS aktiv_icon

16:00 Uhr, 05.09.2015

Hi,
ich bräuchte eure Hilfe und zwar hatte ich bei meiner letzten Klausur folgendes Beispiel und habe es leider nicht geschafft, deswegen wird es mich der Prof. sicher bei der mündlichen Prüfung fragen und ich bin mir nicht sicher wie ich es rechnen soll.
Beim Beispiel war von einer harmonische Funktion

u (x, y)

die konjugiert harmonische

v (x, y)

zu berechnen. Das war noch kein Problem, diese sollte dann zu einer hlomorphen Funktion für die

f (0) = 0

gilt zusammengesetzt werden, ging auch noch.
Beim nächsten Punkt bin ich dann gescheitert.
Es sollte über ein Kurve K , welche die Linie eines Halbkreises von 1 bis -1 mit Radius 1 in den ersten beiden Quadranten darstellt, das Integral

\int K f (z) d z

berechnet werden.

1)

u (x, y) = e^{x} s i n (y) - > k o n j . h a r m . - > v (x, y) = - e^{x} c o s (y) + C

f (0) = 0 - > C = 1 - > f (z) = j - e^{z} j

3) und hier hänge ich jetzt, den cauchyschen Integralsatz kann ich ja nicht anwenden da es keine geschlossen Kurve ist , deswegen habe ich es mit

\int_{0}^{π} f (C (t)) * C (t) ʹ d t

mit

C (t) = r e^{j t}

aber das Ergbenis lässt irgendwie zu wünschen übrig ! hat jemand von euch eine Idee wie der letzte Punkt zu berechnen ist ?
Danke im Voraus, liebe Grüße
Christoph

anonymous

16:24 Uhr, 05.09.2015

Da du die Funktionsgleichung bereits in der schönen Form

f (z) = i - e^{z} \cdot i

angegeben hast, sieht man schnell, dass durch

F (z) = i \cdot z - e^{z} \cdot i + c o n s t.

eine Stammfunktion gegeben ist. Da

f

also eine Stammfunktion besitzt kann man das gesuchte Integral leicht berechnen, indem man Anfangs- und Endpunkt der Kurve in die Stammfunktion einsetzt:

F (- 1) - F (1)

= i \cdot (- 1) - e^{- 1} \cdot i + c o n s t. - (i \cdot 1 - e^{1} \cdot i + c o n s t.)

= - 2 i + (e^{1} + e^{- 1}) i

= - 2 i + 2 i sinh (1)

= 2 i \cdot (sinh (1) - 1)

Eine der Darstellungen in den letzten drei Zeilen sollte ausreichen. Ich sehe keine sinnvolle einfachere Darstellung.

- -

Natürlich kann man auch über die Definition des Kurvenintegrals gehen:

K : [0, π] \to ℂ, t \mapsto e^{i t}

\int_{K} f (z) d z = \int_{0}^{π} f (K (t)) \cdot K' (t) d t = \int_{0}^{π} (i - e^{(e^{i t})} \cdot i) \cdot i \cdot e^{i t} d t = \int_{0}^{π} (i \cdot e^{i t} \cdot i - i \cdot e^{(e^{i t})} \cdot e^{i t} \cdot i) d t

Auch hier tut man sich schwer, wenn man nicht erkennt, dass

\frac{d}{d t} (e^{i t}) = e^{i t} \cdot \frac{d}{d t} (i t) = e^{i t} \cdot i

und

\frac{d}{d t} (e^{(e^{i t})}) = e^{(e^{i t})} \cdot \frac{d}{d t} (e^{i t}) = e^{(e^{i t})} \cdot e^{i t} \cdot i

ist.

Wenn man wie in der reellen Analysis denkt, würde man wohl eine Substitution

z = e^{i t}

ansetzen, was einen hier aber wieder zurück zum gesuchten Kurvenintegral führen würde.

Also ist:

\int_{K} f (z) d z = ... = {[i \cdot e^{i t} - i \cdot e^{(e^{i t})}]}_{t = 0}^{t = π}

= i \cdot (- 1) - e^{- 1} \cdot i - (i \cdot 1 - e^{1} \cdot i)

= - 2 i + (e^{1} + e^{- 1}) i

= - 2 i + 2 i sinh (1)

= 2 i \cdot (sinh (1) - 1)

\approx 0,35 i

Der kürzeste und beste Weg, der mir hier einfällt, ist tatsächlich der Weg über die Stammfunktion, wie ich es im ersten Teil vorgeführt habe.

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